Математика (стр. 4 )

Таблица 6

Цехи	Прямые затраты
1	2	3
1	0	0,2	0	200
2	0,2	0	0,1	100
3	0	0,1	0,2	300

Определить коэффициенты полных затрат и валовой выпуск для каждого цеха.

Решение. Обозначим производственную программу предприятия
через , где — валовой выпуск продукции i-го цеха,
а через план выпуска продукции, также введем матрицу . Тогда производственные взаимосвязи могут быть представлены системой уравнений:

X – AX =Y .

Для решения этой системы найдем обратную матрицу методом Гаусса. В табл. 7 приведен алгоритм преобразования методом Гаусса матрицы A в единичную, который одновременно превращает единичную матрицу в . Сначала приводим матрицу A к верхней треугольной,
а затем к единичной.

Таблица 7

Итерация №	Матрица A	Матрица I
Исходная система	1 –0,2 0 –0,2 1 –0,1 0 –0,1 0,8	1 0 0 0 1 0 0 0 1
1	1 -0,2 0 0 0,96	–0,1 0 –0,1 0,8	1 0 0 0,2 1 0 0 0 1
2	1 –0,2 0 0 1 –0,1042 0 0 0,7896	1 0 0 0,208 1,042 0 0,0208 0,1042 1
3	1 –0,2 0 0 1 0 0 0 1	1 0 0 0,2107 1,0557 0,132 0,0263 0,132 1,2664
4	1 0 0 0 1 0 0 0 1	1,042 0,211 0,0264 0,2107 1,0557 0,132 0,0263 0,132 1,2664

Матрица представляет собой коэффициенты полных внутрипроизводственных затрат. Для определения валового выпуска вычислим:

.

Задачи для самостоятельного решения по теме 3

1. Методом Гаусса и простой итерации (в качестве начального приближения взять решение из метода Гаусса и вычесть по 20 из каждого значения этого решения, затем сделать пять итераций) найти валовой выпуск Х для значений

.

2. Методом обратной матрицы найти коэффициенты полных затрат
и валовой выпуск продукции для каждого цеха, если матрица расходных коэффициентов и вектор конечного продукта равны:

.

Тема 4. Приближение функций

Рассмотрим производственную функцию. Если зафиксировать значение трудового показателя L равным 4 и для разных значений капитала определить валовой выпуск, то получатся значения ; ; . По этим значениям требуется построить приближенную производственную функцию. Для построения такой функции можно воспользоваться интерполяционными многочленами в форме Лагранжа и Ньютона, сплайнами и методом наименьших квадратов (см. тему 4 лекций). Для удобства изложения обозначим через, тогда при, , функция равна: , , .

1. По формуле (Л4.6) построим многочлен Лагранжа второй степени на :

2. По формуле (Л4.10) построим многочлен Ньютона второй степени на :

Заметим, что, как и должно быть согласно утверждению 1 из Л4. Для проверки правильности построения многочленов можно посчитать значения в точках, которые должны быть равны значениям функции. В нашем случае это выполнено: ; ; .

3. Оценим погрешность интерполяции. Для этого нужно знать истинную функцию. На практике эта функция неизвестна,
но в учебных целях оценить погрешность нужно. В нашем случае значения были взяты для функции. Тогда по формулам (Л4.12)–(Л4.13) для получим

т. е. максимум третьей производной функции достигается в точке, поскольку функция является монотонно убывающей на отрезке [1; 9]. Теперь можно оценить погрешность интерполяции:

Оценим погрешность в точках и : ; .

4. Построим два сплайна второго порядка на отрезках и. Для этого надо решить систему уравнений для шести параметров:

В нашем случае, тогда, , и из последних двух уравнений получаем:

Решая эти уравнения, находим: , , . Теперь, подставляя эти параметры в выражение, получим два сплайна для двух отрезков [1; 4] и [4; 9].

Для сплайнов тоже можно сделать проверку: , , .

5. Построим методом наименьших квадратов прямую линию по трем значениям, т. е. . Для этого нужно посчитать матрицу W и вектор V (см. Л4):

Теперь, решая систему нормальных уравнений, получим уравнение. Как видно из уравнения, эта прямая линия не проходит через исходные точки в отличие от интерполяционных многочленов и сплайнов.

Задачи для самостоятельного решения по теме 4

1. Для функции и значений, ,
построить интерполяционные многочлены в форме Лагранжа и Ньютона, оценить погрешность интерполяции, построить два сплайна второго
порядка и методом наименьших квадратов провести прямую линию.

Тема 5. Проблема собственных значений

Доказать, что модель Леонтьева с матрицей является продуктивной (см. [5, 6]), и найти собственный вектор, соответствующий числу, если модель продуктивна.

Решение. Для решения задачи нужно показать, что максимальное
по модулю, положительное, вещественное собственное число матрицы меньше единицы. Это можно показать различными способами, рассмотрим два из них. Первый способ заключается в поиске всех собственных значений методом вращений, а вторым способом можно найти сразу максимальное по модулю собственное число с помощью алгоритма, описанного в теме 5 конспекта лекций.

1. Найдем все собственные числа и собственные векторы матрицы
методом вращений (см. Л5).

Положим, , .

Выделим максимальный по модулю элемент в наддиагональной части: . Так как, то процесс продолжается.

Находим угол поворота из формулы (Л5.4):

.

Сформируем матрицу вращения: .

Выполним первую итерацию:

.

Положим и перейдем ко второй итерации.

Максимальный по модулю наддиагональный элемент, следовательно, процесс продолжается. Найдем угол поворота:

.

Сформируем матрицу вращения: .

Выполним вторую итерацию:

.

Положим и перейдем к третьей итерации.

Максимальный по модулю наддиагональный элемент, следовательно, процесс продолжается. Найдем угол поворота:

.

Сформируем матрицу вращения: .

Выполним третью итерацию:

.

Положим и перейдем к четвертой итерации.

Максимальный по модулю наддиагональный элемент, следовательно, итерационный процесс завершается. Собственные значения: ; ; . Поскольку, то модель Леонтьева является продуктивной.

Для нахождения собственных векторов вычислим

,

отсюда собственные векторы равны: , , а, поскольку соответствует.

2. Найдем максимальное по модулю собственное число матрицы
и соответствующий ему собственный вектор, воспользовавшись теоремой 1 из Л5. Зададим точность. Если, то процесс останавливается. Результаты работы алгоритма представлены в табл. 8.

Таблица 8

Итерация №
0	(1 0 0)	(0,5 0,1 0,2)	0,5477
1	(0,1929 0,1826 0,3652)	(0,5477 0,2008 0,3104)	0,6681
2	(0,8289 0,3039 0,4697)	(0,5388 0,2514 0,3371)	0,6835
3	(0,7883 0,3679 0,4932)	(0,5296 0,2753 0,3424)	0,6881
4	(0,7696 0,4001 0,4976)	(0,5243 0,2868 0,3432)	0,6892
5	(0,7608 0,4161 0,4980)	(0,5216 0,2923 0,3432)	0,6894

Поскольку, то итерации завершаются, и полагаем, что, а.

Для сравнения найденных значений приведем точные значения: , , полученные с помощью программы Mathcad.

Задачи для самостоятельного решения по теме 5

1. Проверить продуктивность модели Леонтьева для матрицы A
из задания 1 темы 3 двумя методами, изложенными выше.

Тема 6. Численное дифференцирование

Найти значение предельной нормы замещения труда фондами
в точке и, если для различных значений K и L мы можем
наблюдать значение валового выпуска, где F – некоторая неизвестная производственная функция.

Решение. Поскольку (см. [5 ,6]), то нам требуется

построить приближенное значение частных производных в точке. Для нахождения этих значений воспользуемся формулой численного дифференцирования (Л6.2) на некотором отрезке. Эта формула дает наименьшую погрешность в середине отрезка, на котором строится аппроксимация производной. Поэтому будем строить аппроксимацию
частных производных на отрезке с центром в точке 2. Вычислим требуемые значения валового выпуска X, считая другую переменную равной двум: