5. Система обслуживания M/G/1/¥ (стр. 2 )

 

…

…

…

Рис. 8. Граф состояний СМО

Приняв обозначение , получаем

, если ;

;

, если .

Вложенная по моментам времени ЦМ в нашем случае характеризуется стохастической матрицей

.

Анализируя и несколько обобщая сказанное, можно утверждать, что процесс представляет собой однородную ЦМ с непрерывным временем и множеством состояний , в случае если: 1) в начальный момент времени процесс находится в одном из состояний из множества ; 2) в каждом из состояний процесс пребывает случайное время, подчиняющееся экспоненциальному распределению с параметром ; 3) в момент завершения пребывания в определенном состоянии i процесс мгновенно переходит в новое состояние с вероятностью (причем для любого ).

Далее мы будем заниматься исследованием СМО , для которой время обслуживания не обязательно подчиняется экспоненциальному распределению, следовательно, процесс в общем случае не является марковским. Но, с другой стороны, анализируемый процесс как бы содержит марковскую компоненту, поскольку входной поток в исследуемой СМО марковский (простейший). Действительно, в системе промежутки времени между соседними моментами поступления требований подчиняются экспоненциальному распределению. Распределению такого же типа подчиняются и промежутки времени между моментами окончания обслуживания и очередными моментами поступления требований (этот факт следует из свойства отсутствия памяти у экспоненциального распределения).

Благодаря такой «частичной марковости» возможным оказывается исследование системы с помощью аппарата так называемых полумарковских процессов, представляющих собой некоторое обобщение марковских. Далее увидим, что это обобщение состоит в том, что ФР времени пребывания процесса в состоянии i при условии, что следующим его состоянием будет состояние j, может быть произвольной, в то время как в случае марковского процесса она не зависит от j и имеет вид .

5.2. Полумарковские процессы

Пусть или , .

Определение 1. Последовательность случайных векторов , , где принимают значения из множества , а - из множества , называется полумарковской последовательностью, если

(5.5)

для произвольных натуральных n, произвольных и произвольных .

Функция называется переходной функцией последовательности .

Имеет место следующее утверждение, приводимое без доказательства.

Лемма 1. Случайная последовательность удовлетворяет свойству (5.5), если и только если выполняются следующие равенства:

(5.6)

(5.7)

Предположим, что с вероятностью 1 . Построим случайный процесс по полумарковской последовательности следующим образом: будем считать, что , если ; , если ; , если и т. д. Предположим также, что на произвольном отрезке времени с вероятностью 1 происходит конечное число скачков процесса . Полученный процесс называется полумарковским процессом, построенным по полумарковской последовательности .