5. Система обслуживания M/G/1/¥ (стр. 5 )

Обозначим через моменты окончания обслуживания (или, иначе, моменты выхода требований из системы), – число требований в системе непосредственно после n-го по счету момента выхода требования из нее; . Легко видеть, что случайная последовательность удовлетворяет свойствам (5.6), (5.7) и, следовательно, является полумарковской последовательностью. Траектория процесса является непрерывной справа ступенчатой функцией. Она возрастает на единицу в моменты поступления требований и понижается на единицу в моменты выхода требований. Вместе с процессом по полумарковской последовательности можно построить полумарковский процесс , определяемый как для всех t, таких что . Графики траекторий процессов и представлены на рис. 10.

 

 

Рис. 10. Траектории процессов и

СМО можно исследовать, таким образом, путем анализа полумарковского процесса , а также при помощи анализа марковских линейчатых процессов или . Легко заметить, что процессы и также являются марковскими, поскольку (по сравнению с процессами и ), в силу того, что входной поток является простейшим, дополнительные скачки процесса в моменты поступления требований (см. рис. 10) не нарушают марковского свойства процессов и . Поэтому процессы и также будем называть линейчатыми.

В дальнейшем мы будем исследовать СМО при помощи дискретной ЦМ , вложенной в процессы или (такой метод называется методом вложенных цепей Маркова), либо с помощью линейчатого процесса (такой метод называется методом дополнительной переменной, или расширения фазового пространства).

Сначала методом вложенных ЦМ найдем распределение числа требований в стационарном режиме (при ).

Пусть – моменты выхода требований из системы, , где образуют ЦМ, вложенную в процесс . Вычислим матрицу переходных вероятностей этой цепи. Вероятность того, что за время обслуживания требования в систему поступит j требований () равна, очевидно,

. (5.9)

Ясно также, что

;

; (5.10)

. (5.11)

Тогда матрица переходных вероятностей имеет вид

Предположим, что выполняется условие . Тогда, поскольку анализируемая ЦМ является однородной, неприводимой и непериодической, стационарное распределение этой цепи (если оно существует) удовлетворяет системе уравнений

. (5.12)

Ниже мы найдем решение этой системы , такое что для любых и . В соответствии с теоремой Фостера (теорема 4 из раздела 4), распределение является единственным стационарным распределением цепи, которое совпадает с ее эргодическим распределением.

С учетом соотношений (5.10), (5.11) формулу (5.12) представим в виде

. (5.13)

Введем в рассмотрение следующие ПФ:

.

Из формулы (5.9) имеем

.

Из соотношения (5.13) следует, что

,

откуда получаем

.

Из условия нормировки

находим, что . Окончательно получаем следующее соотношение для ПФ стационарного числа требований, находящихся в системе в моменты окончания обслуживания (выхода требований):

. (5.14)

Последнее выражение называется формулой Поллачека – Хинчина. Математическое ожидание числа требований при определяется следующим образом:

.

Заметим, что при .

5.5. Распределение числа требований.