5. Система обслуживания M/G/1/¥ (стр. 4 )

Обозначим через количество изменений состояния (скачков) полумарковского процесса до момента времени t включительно.

Процесс называется циклом. Двумерный процесс называется линейчатым. Моменты времени называются 0-моментами.

Таким образом, цикл представляет собой длительность промежутка времени от последнего 0-момента, предшествующего моменту t, до момента t.

Линейчатый процесс является марковским. Действительно, пусть известно, что для некоторого момента t имеем . Последнее равенство означает, что к моменту t цикл продолжался x единиц времени. Тогда следующим состоянием процесса будет состояние j с вероятностью , , , и в таких условиях вероятность завершения цикла в промежутке времени оказывается равной

.

Следовательно, дальнейшее поведение линейчатого процесса не зависит от его поведения до момента времени t, что означает, что процесс является марковским.

Пусть – полумарковский процесс, - длительность промежутка времени от момента t до момента окончания цикла, имеющего место в момент t. Легко показать, что двумерный процесс также является марковским. Такой процесс также будем называть линейчатым.

Далее в этом разделе мы будем изучать характеристики СМО , пользуясь методами введения дополнительного события и теории полумарковских процессов. Основными СВ, характеризующими эту систему, являются: 1) период занятости; 2) число требований в системе; 3) время ожидания и время пребывания.

5.3. Период занятости

Определение 2. Периодом занятости системы обслуживания называется случайная величина , определяющая длительность временного интервала от момента поступления требования в систему, в которой в этот момент отсутствуют требования, до ближайшего момента времени, после которого в системе вновь не будет ни одного требования.

В СМО так определенная СВ характеризует длительность непрерывной работы единственного ОП.

Обозначим через ФР СВ , а через ее ПЛС. Пусть – ФР времени обслуживания , а – ее ПЛС. Используя метод введения дополнительного события выведем соотношение для вычисления функции .

Предположим, что независимо от поведения анализируемой системы, происходят катастрофы, моменты наступления которых формируют простейший поток с параметром . В этом случае, очевидно, является вероятностью того, что за период занятости системы не произойдет ни одной катастрофы. Ясно, что очередность обслуживания требований внутри периода занятости не влияет на его продолжительность. Будем считать, что эта очередность соответствует дисциплине LIFO (требования обслуживаются в порядке, обратном очередности их поступления в систему). В таком случае каждому требованию можем поставить в соответствие промежуток времени от момента начала его обслуживания до момента освобождения системы от данного требования и всех тех, что поступили после него. Такой промежуток называется периодом занятости, соответствующим данному требованию. Легко заметить, что в случае дисциплины LIFO полный период занятости состоит из времени обслуживания первого требования, которое открывает этот период, и суммарной длительности периодов занятости, соответствующих требованиям, поступившим в систему за время обслуживания первого требования. Такие периоды занятости являются, очевидно, независимыми и одинаково распределенными СВ с ФР , поскольку длительности этих периодов (в случае дисциплины LIFO) не зависят от наличия либо отсутствия в системе других требований в моменты их начала (т. е. в моменты начала обслуживания требований, открывающих эти периоды).

Назовем требование плохим, если за соответствующий ему период занятости происходит, по крайней мере, одна катастрофа. Очевидно, произвольное требование является плохим с вероятностью . Следовательно, поток плохих требований – простейший с параметром , где a – параметр входного потока, а суммарный поток катастроф и плохих требований является простейшим с параметром .

Пусть за период занятости рассматриваемой СМО не произошло ни одной катастрофы (вероятность такого события равна ). Для этого необходимо и достаточно, чтобы за время обслуживания требования, открывающего этот период, не произошло ни одной катастрофы и не поступило ни одного плохого требования (сказанное означает, что за указанное время обслуживания не должно произойти ни одного события суммарного потока катастроф и плохих требований). В том случае, если время обслуживания первого требования, обслуживаемого в периоде занятости, равно x, вероятность описанного события равна . Поэтому

,

или

. (5.8)

Уравнение (5.8) распространяется на область комплексных q, таких что , методом аналитического продолжения.

Справедливо следующее утверждение, приводимое без доказательства.

Теорема 2. Функциональное уравнение (5.8) определяет единственную функцию аналитическую в полуплоскости и такую, что . Функция является преобразованием Лапласа – Стилтьеса ФР , собственной (т. е. такой, что ) в случае (где – первый момент времени обслуживания) и несобственной (т. е. такой, что ) в случае .

Как следует из теоремы 2, в случае период занятости равен бесконечности с вероятностью .

В случае можно с помощью дифференцирования обеих частей уравнения (5.8) найти моменты СВ . В частности, для первых двух моментов находим

,

где – второй момент времени обслуживания.

Очевидно, при имеем . Такой же результат получаем при , хотя СВ в этом случае является собственной, т. е. принимает конечные значения с вероятностью 1.

5.4. Распределение числа требований.

Метод вложенных цепей Маркова

Пусть – число требований, находящихся в системе в момент времени t. Как уже говорилось, время обслуживания в этой СМО распределено произвольным образом, поэтому процесс в общем случае не является марковским.