5. Система обслуживания M/G/1/¥ (стр. 6 )

Метод дополнительной переменной

Методом дополнительной переменной найдем стационарное распределение числа требований в системе в произвольный момент времени (т. е. не обязательно в моменты выхода требований из системы). Для этого будем анализировать линейчатый марковский процесс , где – длительность промежутка времени от начала обслуживания требования, обслуживаемого в момент t, до самого момента t (функция не определена, если ).

Введем обозначения , ; , . Пользуясь теорией полумарковских процессов (см. п. 5.2), легко показать, что в случае при существуют пределы . ПФ числа требований, находящихся в системе в стационарном режиме, определим как . Очевидно, что при имеет место равенство

. (5.15)

Введем в рассмотрение еще одну ПФ:

. (5.16)

Тогда из формулы (5.15) следует, что

. (5.17)

Найдем функцию . Пусть – плотность времени обслуживания (для простоты полагаем, что она существует, хотя такое предположение не является обязательным). Введем обозначение . Функция представляет собой интенсивность обслуживания (см. п. 2.8). Вычислим вероятность в случае . Необходимым и достаточным условием того, чтобы в системе в момент времени было n требований , и в этот момент имело место включение , является выполнение следующих условий:

1)  либо в момент t в системе было n требований, , далее в течение времени не было завершено обслуживание требования, обслуживаемого в момент t, и не поступало в систему других требований; вероятность этого события равна, очевидно,

2)  либо в случае в системе в момент времени t находилось требований, и за единиц времени после момента t в систему поступило требование; вероятность этого события равна , где

Поскольку вероятность других событий, которые переводят систему в состояние в течение времени , равна , в итоге получаем

(5.18)

Найдем теперь вероятность . Для того чтобы в системе в момент времени отсутствовали требования, необходимо и достаточно, чтобы

1)  либо в момент времени t в системе отсутствовали требования и в течение времени новые требования не поступали в систему; вероятность такого события равна ;

2)  либо в момент t в системе находилось одно требование, которое завершило свое обслуживание в течение времени , вероятность такого события равна .

Вероятность остальных событий, переводящих систему в состояние , равна . Следовательно, в итоге получаем

. (5.19)

Вероятность того, что в момент в системе находилось n требований и при этом , очевидно, равна С другой стороны, система попадает в это состояние, если в момент t в ней находилось требований и за время одно требование завершило обслуживание. Вероятность такого события равна . Следует, однако, помнить, что в случае система может перейти в указанное состояние, если в момент t в ней отсутствовали требования и за время поступило одно требование. Вероятность такого события равна . Окончательно имеем

. (5.20)

Из соотношений (18)-(20) обычным образом при получаем следующую систему уравнений:

(5.21)

; (5.22) . (5.23)

Поскольку в случае при существуют пределы и , , то из соотношений (5.21)–(5.23) при вытекает следующая система уравнений:

; (5.24)

; (5.25)

. (5.26)

Уравнение с номером n в формуле (5.24) умножим на а далее просуммируем все полученные уравнения по n (). В результате получим уравнение для ПФ , определенной формулой (5.16):