5. Система обслуживания M/G/1/¥ (стр. 7 )

. (5.27)

Подобным образом, переходя к ПФ в соотношении (5.26), получаем

. (5.28)

Из соотношения (5.25) следует, что , поэтому формулу (5.28) можно представить в виде

. (5.29)

С учетом определения функции (см. соотношение (2.22)) находим, что решение уравнения (5.27) имеет вид

. (5.30)

Подставив полученное значение в соотношение (5.29), приходим к соотношению

.

Поскольку то . Тогда из формулы (5.30) имеем

. (5.31)

Заметим, что такой же результат получается в том случае, если вместо процесса анализировать процесс , где – длительность промежутка времени от момента t до момента окончания обслуживания требования, обслуживание которого имеет место в момент времени t. Иными словами, в том случае, если является вероятностью того, что в системе в стационарном режиме находится n требований , остаток времени обслуживания обслуживаемого в этот момент требования удовлетворяет включению и , легко получить (аналогичным образом), что , где определяется соотношением (5.31).

Из соотношений (5.17) и (5.31) находим

,

или по-другому

.

Поскольку , как следует из условия нормировки , то в силу соотношения (5.14) окончательно получаем вновь формулу Поллачека – Хинчина:

. (5.32)

Поскольку существует взаимно-однозначное соответствие между распределениями вероятностей , , , и ПФ и соответственно, то из равенства следует равенство для всех . Этот факт, доказанный иным способом , называется законом стационарной очереди.

Заметим, что соотношению (5.32) в случае вещественных z можно, воспользовавшись методом введения дополнительного события, придать определенный вероятностный смысл: пусть каждое требование, не зависимо от других, является красным с вероятностью z или синим с вероятностью . Тогда имеет смысл вероятности того, что в стационарном режиме в системе могут находиться исключительно красные требования (или, что то же самое, нет ни одного синего требования).

Заметим также, что распределение числа требований в системе не зависит от очередности их обслуживания.

Из формулы (5.32) вытекают следующие соотношения для стационарных моментов числа требований в системе:

;

,

где – третий момент времени обслуживания.

5.6. Время ожидания и время пребывания

Распределение времени ожидания и времени пребывания требования в системе зависит, очевидно, от дисциплины обслуживания. Предположим, что требования обслуживаются в порядке их поступления в систему (дисциплина FIFO). Пусть – время обслуживания n-го требования, . Обозначим через время его ожидания и через время его пребывания в системе. Введем соответствующие ФР

.

В случае существуют пределы (это следует из теории полумарковских процессов)

,

которые представляют собой ФР СВ W и V соответственно. Функции и называются стационарными ФР времени ожидания и времени пребывания соответственно. Тогда

,

где при в смысле сходимости по распределению. СВ W и V называются стационарными временем ожидания и временем пребывания соответственно. Очевидно, для анализируемой СМО имеем , где – время обслуживания n-го требования, причем СВ и независимы. Введем ПЛС СВ и :

.

С учетом свойств ПЛС и того факта, что обслуживание требований является рекуррентным, получаем

, (5.33)

где – ПЛС времени обслуживания (СВ ). Тогда для ПЛС

стационарного времени ожидания W и стационарного времени пребывания V получаем после перехода к пределу при в соотношении (5.33):

. (5.34)

Найдем . С учетом принятой дисциплины обслуживания приходим к выводу, что после окончания обслуживания некоторого требования в системе останутся те и только те требования, которые поступили в течение времени его пребывания в системе. Поэтому необходимым и достаточным условием того, чтобы в стационарном режиме в системе в момент окончания обслуживания требования находилось j других требований (вероятность этого события равна, как мы знаем, ), есть поступление в систему за время пребывания указанного требования j требований. Отсюда следует, что