5. Система обслуживания M/G/1/¥ (стр. 1 )

5. СИСТЕМА ОБСЛУЖИВАНИЯ M/G/1/¥

5.1. Предварительные замечания

СМО будем исследовать, как это принято, с помощью математического аппарата полумарковских процессов, которые подробно будут рассмотрены в п. 5.2. Для лучшего понимания необходимости введения процессов такого типа рассмотрим здесь иной, нежели в п. 4.1, способ представления ЦМ с непрерывным временем.

Рассмотрим стохастически непрерывную консервативную ЦМ с непрерывным временем и конечным или счетным множеством состояний . Пусть – интенсивность выхода из состояния , – интенсивность перехода из состояния в состояние . Данную ЦМ можно представить в следующем виде.

Пусть – случайные моменты изменения состояний процесса (). Обозначим через состояние, в которое в момент переходит процесс . Пусть . Предположим, что , . Очевидно, последовательности и полностью характеризуют ЦМ . При этом является случайным временем пребывания процесса в состоянии, в которое процесс перешел в момент времени .

Легко показать, что для анализируемой ЦМ случайная последовательность для произвольных натуральных n и произвольных положительных удовлетворяет следующему равенству:

, (5.1)

где , ( – вероятность того, что ЦМ, находящаяся в состоянии i, в очередной момент изменения состояния перейдет в состояние j).

Из формулы условной вероятности следует, что

(5.2)

где – ФР времени пребывания процесса в состоянии i при условии, что в очередной момент смены состояния процесс перейдет в состояние j. Из соотношений (5.1) и (5.2) следует

. (5.3)

Следовательно, для анализируемого процесса время пребывания в произвольном состоянии не зависит от того, какое состояние процесса будет следующим. Более того, время пребывания процесса в состоянии i подчиняется экспоненциальному распределению, параметр которого зависит исключительно от состояния .

Легко убедиться, что в этом случае случайная последовательность определяет ЦМ с дискретным временем, характеризуемую матрицей переходных вероятностей (стохастической матрицей) . Последовательность называется вложенной в процесс (по моментам времени ) цепью Маркова.

Справедливо также и обратное утверждение. Пусть дана случайная последовательность , удовлетворяющая соотношению (5.1), причем представляет собой стохастическую матрицу и , а являются положительными числами. Если предположить, что

, , ; , если , (5.4)

то процесс представляет собой стохастически непрерывную консервативную ЦМ с непрерывным временем и интенсивностями переходов . При этом, очевидно, моменты , , определяемые соотношениями (4), являются моментами «скачков» процесса , а – состояниями, в которые переходит процесс в моменты .

Рассмотрим, например, одну из простейших марковских СМО и характеризующую ее ЦМ (где является, как известно, числом требований в системе в момент времени t).

Пусть a – параметр входного потока, m - параметр времени обслуживания. Известно, что процесс является в нашем случае процессом рождения и гибели. Следовательно, , если . Очевидно, , ; , ; ; , , как видно из графа состояний анализируемой СМО, изображенного на рис. 8.

Вложенная в процесс по моментам поступления и моментам окончания обслуживания требований ЦМ определяется в таком случае переходными вероятностями ; , если ; ; ; , .