5. Система обслуживания M/G/1/¥ (стр. 8 )

,

откуда

Из формулы Поллачека – Хинчина (5.14) следует, что

,

откуда после подстановки имеем

. (5.35)

Из формулы (5.35) вытекают следующие выражения, позволяющие вычислить два первых момента стационарного времени ожидания:

;

.

Из соотношений (5.34) и (5.35) следует, что

.

Моменты стационарного времени пребывания можно определить непосредственно из последнего соотношения, а также пользуясь тем, что СВ W и (время обслуживания) независимы, а следовательно

;

.

Легко проверить, что для анализируемой СМО справедливы формулы Литтла.

5.7. Виртуальное время ожидания

и виртуальное время пребывания

Определение 3. Под виртуальным временем ожидания (пребывания), соответствующим моменту времени t, понимают длительность () времени ожидания (пребывания) в системе фиктивного требования, если предположить, что оно поступило в систему в момент времени t.

В ТМО понятия виртуального времени ожидания и виртуального времени пребывания вводятся с целью упрощения вычислений, поскольку для некоторых конкретных СМО вычисление виртуальных характеристик оказывается более простым. Пусть, например, имеется СМО , в которой входной поток не является ординарным, т. е. требования поступают в систему группами случайного размера. Определение времени ожидания для такой СМО требует, очевидно, установления очередности обслуживания требований внутри каждой поступившей группы. В то же время определение виртуального времени ожидания в такой системе является простым и естественным.

Найдем распределение введенных СВ в стационарном режиме для СМО в случае дисциплины FIFO.

Пусть , – ФР виртуального времени ожидания и виртуального времени пребывания соответственно.

Из теории полумарковских процессов следует, что при существуют не зависимые от начальных условий пределы

,

которые представляют собой ФР неотрицательных СВ и , называемых стационарным виртуальным временем ожидания и стационарным виртуальным временем пребывания соответственно, так что , , т. е. при по распределению. Кроме того, очевидно, и СВ и независимы. Введем следующие ПЛС:

, .

Очевидно, . Найдем функцию в случае дисциплины FIFO.

Предположим, что в начальный момент времени в системе отсутствовали требования (такие начальные условия называются нулевыми), т. е. . Очевидно, что является ФР длительности промежутка времени, начинающегося в момент и заканчивающегося (в случае дисциплины FIFO) в момент освобождения системы от требований, поступивших в нее до момента .

Далее будем пользоваться методом введения дополнительного события. Будем считать, что независимо от поведения системы происходят катастрофы, образующие простейший поток с параметром . Назовем требование плохим, если за время его обслуживания наступит, по крайней мере, одна катастрофа (вероятность такого события равна ). Поток плохих требований является, очевидно, простейшим с параметром . Необходимым и достаточным условием того, чтобы во временном интервале в систему не поступило ни одного плохого требования (вероятность такого события равна ), является наступление одного из следующих несовместных событий:

1)  либо катастрофа не наступила ни за время t (вероятность этого события равна ), ни в промежутке времени от момента t до момента освобождения системы от требований, поступивших до момента t (вероятность этого есть );

2)  либо катастрофа наступила в некоторый момент времени x до момента t (вероятность этого события равна ), когда в системе отсутствовали требования (вероятность этого есть ), а далее за время в систему не поступали плохие требования (вероятность этого события равна ) для всех .

В результате получаем уравнение

,

решение которого относительно дает

, (5.36)

откуда при можно найти . Для этого правую часть формулы (5.36) представим в виде

Пользуясь правилом Лопиталя, находим

,

где, как известно, . В результате получаем

,

и аналогично для ПЛС стационарного виртуального времени пребывания имеем

.

Следовательно, для СМО стационарные распределения виртуального времени ожидания и виртуального времени пребывания совпадают со стационарными распределениями «обычных» времени ожидания и времени пребывания соответственно.

5.8. Частные случаи системы M/G/1/¥

Рассмотрим два важных случая.

1. Система M/M/1/¥. В этом случае ФР времени обслуживания имеет вид ; ; . Из формулы Поллачека – Хинчина (5.32) следует, что

,

откуда получаем

.

Отсюда вытекают следующие соотношения:

.

Из формулы (5.35) следует, что

.

Обращением преобразования Лапласа можем в этом случае найти явный вид ФР стационарного времени ожидания:

.

Первые два момента времени ожидания при этом равны

.

Для ФР стационарного времени пребывания имеем

.

Заметим, что анализируемая СМО является также частным случаем системы .

2. Система M/D/1/¥. Для данной СМО имеем Поэтому

.

ПФ числа требований в СМО в стационарном режиме, как следует из формулы (5.32), имеет вид

,

откуда с помощью дифференцирования функции в точке используя свойства ПФ, получаем

(5.37)

Из соотношения (5.35) следует, что

.

Обращая преобразование Лапласа (например, с помощью таблиц), приходим к выводу, что ФР стационарного времени ожидания в этом случае имеет вид

,

где , что означает выполнение неравенства ;

.

Очевидно, ФР стационарного времени пребывания в этом случае имеет вид