5. Система обслуживания M/G/1/¥ (стр. 3 )

Траектория построенного процесса формируется следующим образом. Пусть задано начальное распределение . Пусть – величина, разыгранная в соответствии с этим распределением, т. е. конкретное значение, которое принимает СВ , имеющая данное распределение. Далее разыгрываем величины (реализации) , соответствующие распределению . Пусть результатом такого разыгрывания является пара , тогда полагаем, что реализация процесса в промежутке времени принимает значение . Затем разыгрываем значения вектора в соответствии с распределением . Пусть при этом они оказались равными , тогда реализация процесса интервале времени принимается равной и т. д. Типичная траектория процесса представлена на рис. 9.

Реализация процесса

 

 

Рис. 9. Траектория полумарковского процесса

Траектории полумарковского процесса представляют собой непрерывные справа ступенчатые функции.

Пусть . Тогда имеем

, где .

Функция имеет смысл ФР времени пребывания процесса в состоянии i, если известно, что следующим его состоянием будет состояние j.

Рассмотрим процесс в случайные моменты времени , т. е. рассмотрим последовательность , , , ¼. Такой дискретный случайный процесс или, что то же самое, , называется вложенным в случайный процесс . В данном случае процесс представляет собой ЦМ с дискретным временем с матрицей вероятностей перехода . В случае, если , имеем . Переходная функция произвольной полумарковской последовательности может быть поэтому представлена в виде

,

где в качестве может выступать ФР произвольной неотрицательной СВ.

Из приведенных рассуждений следует, что полумарковский процесс полностью характеризуется следующими элементами: 1) матрицей переходных вероятностей ; 2) матрицей ФР ; 3) начальным распределением .

Полумарковский процесс называется вполне регулярным, если для произвольного состояния и произвольных имеем . Можно доказать, что вполне регулярный полумарковский процесс является стохастически непрерывной однородной консервативной ЦМ с непрерывным временем, не содержащей поглощающих состояний, если и только если его переходная функция для произвольных представима в виде

,

где – стохастическая матрица, такая что для произвольных имеем , если .

Следовательно, полумарковский процесс представляет собой однородную консервативную ЦМ с непрерывным временем и без поглощающих состояний, если и только если время пребывания в каждом его состоянии не зависит от того, каким будет следующее состояние, и распределено по экспоненциальному закону.

Предположим, что

для произвольных . Величина имеет смысл среднего времени пребывания процесса в состоянии i при условии, что следующим его состоянием будет j. В этом случае является средним временем пребывания процесса в состоянии i.

Можно показать, что имеет место следующее утверждение.

Теорема 1. Предположим: а) вложенная дискретная ЦМ с матрицей переходных вероятностей является неприводимой и имеет стационарное распределение ; б) не все функции являются решетчатыми (т. е. не все представляют собой ФР дискретных СВ, имеющие скачки в точках , где ; ). Введем обозначение

(число является вероятностью того, что процесс находится в состоянии j в стационарном режиме, если начальным состоянием процесса является i).

При указанных допущениях имеет место равенство

,

где есть безусловная вероятность того, что процесс в стационарном режиме находится в состоянии j.

Как видим, в наших предположениях вероятность не зависит от начальных условий. Заметим, что величина характеризует относительную долю времени, в течение которого процесс находится в состоянии j в стационарном режиме, в то время как в этих условиях характеризует частоту попадания процесса в состояние j.