Русская вероятностная логика (стр. 15 )

4.5. ExmAmy -> f(x, y) = mx+my'+jm'y+f(x, y) = 1(i)

В результате полной проверки традиционных 64-х силлогизмов получим следующие правильные модусы:

1-я фигура: AAA, AEO, AII, EAE, EEI, EII, IEO, OEI.

2-я фигура: AAI, AEE, AOI, EAE, EEI, EII, IEI, OAI.

3-я фигура: AAI, AEI, AII, AOI, EAI, EEI, EII, EOI, IAI, IEI, OAI, OEI.

4-я фигура: AAA, AEE, EAO, EEI, EIO, EOI, IAI, IEI.

Кстати, на самом деле проверять нужно было бы 256 модусов даже для случая двухфункторной (A, I) силлогистики.

Полученные результаты очевидны, однако в большей своей части данные модусы являются абсолютно новыми для рииотелевой силлогистики[18].Кроме того, аристотелевский модус AAI в 4-й фигуре является некорректным.

Проверим теперь традиционную логику[9] с помощью алгоритмов «Осташ». Её базис явно отличается от базиса Аристотеля-Жергонна. Попробуем описать этот базис аналитически. Из логического квадрата[9] следуют традиционные соотношения:

Axy = (Oxy)',Exy = (Ixy)'.

Поскольку Axy = (xy')',то Oxy = xy'.Для Ixy определяем фор-

мулу, исходя из того, что Exy = (xy)'.Откуда получаем Ixy = xy.

Разумеется, подобный базис никакого отношения к здравому смыслу не имеет. Тем не менее проверим на основе этого базиса некоторые традиционные «правильные» модусы. Проверку проведем в соответствии с алгоритмом «Осташ-Т».

1-я фигура

EIO: (mx)'my -> xy' = mx+m'+y'+xy' ¹ 1

2-я фигура

EIOLmx)'ym -> xy' = mx + m'+y'+xy' ¹ 1

3-я фигура

EAOLmx)'(my')' -> xy' = mx+my'+xy' ¹ 1

OAO:mx'(my')' -> xy' = m'+x+my'+xy' ¹ 1

EIOLmx)’my -> xy’ = mx + m’+y’+xy’ ¹ 1

4-я фигура

AAILxm’)’(my’)’ -> xy = xm’+my’+xy ¹ 1

EAOLxm)’(my’)’ -> xy’ = mx+my’+xy’ ¹ 1

Аналитическая и графическая проверки выбранных «правильных» модусов выявили некорректность последних. Соотношения (1) – (4) описывают риистотелевскую логику, которая не соответствует требованиям, предъявленным русским ученым [5] к частным суждениям с научной точки зрения и с позиции логики здравого смысла.

Автор с глубочайшим уважением относится к Аристотелю, впервые в истории человечества предложившему формальные методы анализа и синтеза силлогизмов. Однако нельзя признать, что логика Аристотеля является логикой здравого смысла, а его «правильные» модусы исчерпывают все достоверные ситуации силлогистики. Поэтому логика Аристотеля-Жергонна представляет интерес с чисто научно-исторической точки зрения.

Проиллюстрируем применение алгоритма «Редан» на простом примере. Пусть задан тривиальный силлогизм:

Все люди(m) талантливы(x).

Все студенты(y) – люди(m).

Все студенты(y) талантливы(x).

Казалось бы, если нам известны первая посылка и заключение, то мы легко найдём вторую посылку, и она будет иметь вид Aym, т. е. “Все студенты – люди. Проверим наши рассуждения с помощью алгоритма «Редан».

Все люди(m) талантливы(x).

F(m, y) = ?

Все студенты(y) талантливы(x).

Решение.

Для универсума «живые существа» получим такие диаграммы.

Наряду с этим необходимо подчеркнуть пассивную роль кванторного исчисления, предназначенного, казалось бы для защиты аристотелевой силлогистики. В [32] приводится пример элегантного доказательства достоверности первого модуса первой фигуры (AmxAym -> Ayx) с применением кванторного исчисления. Однако этот модус самый примитивный из всех, и легко доказывается даже в обычной двоичной логике без привлечения кванторов («лишних сущностей» по Оккаму). Кванторный механизм создавался, в первую очередь, для того, чтобы проверить силлогистику Аристотеля. Однако до сих пор такой проверки не произошло. Отсюда можно сделать следующий вывод: либо кванторным исчислением матлогики не владеют настолько, чтобы доказать или опровергнуть правоту Аристотеля, либо само кванторное исчисление является ущербным. Автор склоняется ко второму выводу, поскольку кванторное исчисление – примитивная мнемоника и ничего более.

Некоторые дополнительные аспекты проблем современной силлогистики изложены в [21].

4.7. Ошибки Аристотеля.

Важнейшим разделом классической логики является силлогистика, основные положения которой были разработаны Аристотелем. Решение задач силлогистики опирается на аристотелевы фигуры, модусы и 4 основных правила посылок[9].

Задача 1.

Проверить корректность 1-го правила посылок классической силлогистики.

Решение.

Это правило формулируется так [9, стр.133]: «Хотя бы одна из посылок должна быть утвердительным суждением. Из двух отрицательных посылок заключение с необходимостью не следует». Подберём контр-пример на 1-е правило посылок.

Ни один человек(m) не является бессмертным(x).

Ни один человек(m) не является счастливым(y).

F(x, y) = ?

В данном силлогизме универсумом(U) является множество существ. По алгоритму ИЭИ получим следующий результат. Примем априори, что счастливых меньше, чем бессмертных.

По алгоритму ТВАТ получим графическое решение. Здесь Y1 – Y4 – различные ситуации распределения множеств счастливых существ. Предполагается, что Боги тоже могут быть несчастны.

F(x, y) = y’+I = Ixy’(7), т. е. “Некоторые бессмертные несчастливы”. Результаты графического синтеза заключения совпали со здравым смыслом и опровергли 1-е правило посылок. Здесь и далее апостроф обозначает инверсию, а цифра в скобках – номер базиса.

Приведу здесь задачку проф. Белорусского Государственного Университета :

Ни один ребёнок (х) – не юноша (m).

Ни один юноша (m) – не взрослый мужчина (y).

F(x, y) = ?

Казалось бы, она по Аристотелю полностью совпадает с предыдущей. Следовательно, заключение должно быть аналогичным. Однако аналитический метод требует скрупулёзного учёта всех условий. Поэтому в данном силлогизме будут не две посылки, а по меньшей мере три. Причём эта третья сразу сделает задачку Беркова бессмысленной: придётся указать, что универсум мужчин состоит из трёх непересекающихся множеств юношей, детей и взрослых мужчин. Аналитика (алгоритм ИЭИ) лишь подтвердит очевидность.

M = EmxEym & (mx’y’+m’xy’+m’x’y) = (m’+x’)(y’+m’)(mx’y’+m’xy’+m’x’y) = (x’y’+m’)(mx’y’+m’xy’+m’x’y) = m’xy’ + m’x’y + mx’y’.

F(x, y) = xy’ + x’y + x’y’ = x’ + y’ = Exy.

Значительно проще и безопаснее пользоваться графо-аналитическим алгоритмом ТВАТ: он страхует от неучёта дополнительных условий. Все условия в графике изображаются автоматически, машинально.

Из этого рисунка и без таблицы истинности видно, что «Ни один ребёнок – не взрослый мужчина». Главная ошибка Аристотеля как раз и заключается в том, что он не принимает во внимание содержание терминов и универсума.

Оппоненты иногда возражают, что в моих силлогизмах появляются скрытые дополнительные посылки. Это вызвано лишь требованиями здравого смысла: не может быть одновременно множество X больше, меньше и равно множеству Y.

Поскольку Аристотель игнорирует требования рассудка, то будем играть по его правилам. В этом случае опровержение 1-го правила посылок будет выглядеть таким образом: EmxEmy → f(x, y).

Мы получили заключение «Некоторые не-Х суть не-Y» в третьем базисе, т. е. в базисе Аристотеля. В этом случае опровержение Аристотеля выполнено без привлечения скрытых посылок.

Задача 2.

Проверить корректность 2-го правила посылок классической силлогистики.

Решение.

Это правило формулируется так [9, стр.134]: «Если одна из посылок – отрицательное суждение, то и заключение должно быть отрицательным». Контр-пример для этого случая может быть таким.

Все люди(m) – животные(x).

Ни один человек(m) не имеет хвоста(y).

F(x, y) = ?

В качестве универсума(U) примем множество существ, в том числе и Богов (бесхвостых). Наиболее наглядным является графическое решение по алгоритму ТВАТ.

Из скалярных диаграмм видно, что заключение является общеутвердительным: «Все хвостатые существа – животные», что опровергает 2-е правило посылок.

Опять сыграем по правилам Аристотеля, т. е. пренебрежём здравым смыслом: у нас Y одновременно и меньше, и больше Х. Найдём заключение для следующих посылок: АmxEmy → f(x, y).

Полученное заключение прочитывается так: «Некоторые Х суть не-Y». Можно ли считать это отрицательным заключением? Едва ли. Если Y-бесхвостые, а Х – животные, то результат выглядит так: «Некоторые животные имеют хвосты». Если под отрицательными суждениями иметь в виду только общеотрицательные функторы, то тогда неправота Аристотеля абсолютна.

Задача 3.

Проверить корректность 3-го правила посылок классической силлогистики[9, стр.134].

Решение.

Это правило формулируется так: «Хотя бы одна из посылок должна быть общим суждением. Из двух частных посылок заключение с необходимостью не следует». Рассмотрим контр-пример:

Некоторые люди (m) неграмотны (x).

Некоторые люди (m) бескультурны (y).

F(x, y) = ?

Пусть U – множество животных и богов. Предположим, что культурным (вежливым, например) может быть и неграмотный, т. е. примем, что некультурных меньше, чем неграмотных. Животные по определению не могут быть ни культурными, ни грамотными. Боги могут быть и невежами, и невеждами. Вновь воспользуемся алгоритмом ТВАТ.

f(x, y) = x+i = Ixy(5), т. е. «Некоторые неграмотные бескультурны». Это соответствует математике и здравому смыслу, что ставит под сомнение корректность 3-го правила посылок. Если принять, что без образования не может быть культуры, то мы сразу получим тривиальное заключение «Все неграмотные бескультурны». И это общеутвердительное заключение получено абсолютно корректно в полном соответствии со здравым смыслом при двух частноутвердительных посылках.