Русская вероятностная логика (стр. 34 )

«Сыграем в поддавки» с Б. Расселом: он пытался использовать фигуры и модусы Аристотеля. Подгоним силлогизм под Аристотеля:

Все люди(m) разумны(x).

Некоторые люди(m) вежливы(y).

F(x, y) = ?

Если в качестве универсума примем множество людей, богов(разумных и вежливых) и животных, то получим заключение: «Все вежливые – разумны», что опять не совпадает с заключением именитого академика.

Б. Рассел в монографии «Искусство мыслить»(М.:1999) на с. 38 приводит такой силлогизм: «Если А находится вне В и В находится вне С, то А находится вне С». Данный силлогизм – образец вопиющей безграмотности и бестолковости. По алгоритму ТВАТ построим диаграммы.

Кстати, вся аморфность мышления Б. Рассела, как и любого другого «мыслителя», сразу проявляется при прорисовке скалярных диаграмм. Именно они принудительно дисциплинируют мышление.

Не блещут дисциплиной мышления и преподаватели Оксфордского и Кембриджского университетов, самых престижных вузов Запада. В своей книге "Философия"(М.:1997) на стр. 172 Д. Тейчман и К. Эванс проявили не только оголтелую славянофобию ("Все поляки - маньяки"), но и вопиющую безграмотность. Вместо того, чтобы сформулировать посылку в виде "Все олени - животные", они заявляют "Некоторые животные - олени"(стр.170). Из такой посылки следует абсолютно абсурдное заключение: “Некоторые олени – животные”. Или совсем уж бестолковый перл: "Некоторые солдаты - люди"(стр.174). Таких ляпсусов отечественные логики всё-таки не допускают.

Рассмотрим ещё один силлогизм:

Все животные (m) смертны(х).

Некоторые животные(m) неграмотны(y).

F(x, y) = ?

В этом случае могут быть несколько вариантов универсума. Например:

1.  U = животные + растения.

2.  U = животные + растения + неживая природа(НП).

3.  U = животные + растения + неживая природа+боги.

Тогда для первого варианта получим следующие скалярные диаграммы:

Из скалярных диаграмм видно, что f(x, y) = x = Ayx & Ay’x, т. е. “Все неграмотные и все грамотные смертны”.

Скалярные иаграммы для второго варианта универсума имеют вид:

Заключение в этом случае получается совершенно иным:

F(x, y) = x+y = Ax’y & Ay’x, т. е. “Все бессмертные неграмотны, а все грамотные смертны".

Все эти результаты не соответствуют ни одному классическому модусу и нарушают главный закон силлогистики о частной посылке и частном заключении, однако вполне согласуются со здравым смыслом.

Для третьего универсума диаграммы выглядят иначе:

Из таблицы истинности получаем третье заключение, также противоречащее классическим модусам (результат в 5-м базисе, а не в базисе Аристотеля):

F(x, y) = x+ix’ = Ixy(5).

Однако исходя из здравого смысла, боги не могут быть одновременно грамотными, неграмотными и “полуграмотными”, как это представлено на скалярных диаграммах для 3-го универсума. Следовательно, силлогизм для этого универсума должен быть построен для трёх случаев:

·  боги грамотные;

·  боги неграмотные;

·  некоторые боги неграмотные.

Для грамотных богов решение выглядит так:

Из диаграмм видно, что f(x, y) = Ayx, т. е. «Все неграмотные – смертны».

Для варианта с неграмотными богами имеем:

Заключение в этом случае имеет вид f(x, y) = x+y = Ax’yAy’x, т. е. «Все бессмертные неграмотны, а все грамотные смертны».

Построим скалярные диаграммы для «полуграмотных» богов.

Для этого варианта заключение выглядит так: f(x, y) = 1 = Ixy(8), т. е. в базисе Васильева «Некоторые смертные неграмотны». В силу симметричности и обратимости частно-утвердительного функтора Васильева имеем: Ixy = Ixy’ = Ix’y = Ix’y’. Следовательно, одновременно можно утверждать, что «Некоторые смертные грамотны», «Некоторые бессмертные неграмотны», «Некоторые бессмертные грамотны».

Силлогизмы подобного типа не могут быть решены без скалярных диаграмм, конкретизации универсума и содержания посылок. Автор и сам без скалярных диаграмм и русской логики становится беспомощным при анализе и синтезе сложных силлогизмов. Таким образом, логика дисциплинирует мышление, тренирует ум. Это вполне согласуется с мыслью Гераклита о том, что надо воспитывать в себе «многомыслие», а не «многознание.

В «Диалогах» Платона [33, стр.117] встречается такой вопрос: “ Скажи мне, Клиний, те из людей, кто идёт в обучение, - они мудрецы или невежды?» И далее утверждается, что любой ответ будет неверным. Это яркий пример терминологической путаницы: мудрец – не всезнайка, а просто умный, обогащённый жизненным опытом и знаниями многих наук(в первую очередь математических) человек. Если бы Клиний и его оппоненты определили содержание термина, то никакого диспута не возникло бы.

Глава одиннадцатая.

Логические уравнения и обратные функции.

11.1. Решение логических уравнений и 4-значная комплементарная логика.

Наиболее полно эта проблема рассмотрена в работах [34] и [3].

Предлагается более простой и эффективный метод решения логических уравнений[17, 29], основанный на применении таблиц истинности и четырёхзначной логики.

Автором впервые предлагается четырехзначная логика. Она полностью соответствует общеразговорной, или бытовой логике. Вышеназванная логика представлена базисными функциями. Значения этой логики имеют следующий смысл : 0 - нет, j - не может быть никогда, i - может быть, 1 - да.

Таблица базисных функций 4-значной комплементарной логики

XY	X’	X&Y	X+Y	XY	X’	X&Y	X+Y
00	1	0	0	i0	j	0	1
0j	1	0	j	ij	j	0	1
0i	1	0	i	ii	j	i	i
01	1	0	1	i1	j	i	1
j0	i	0	j	10	0	0	1
jj	i	j	j	1j	0	j	1
ji	i	0	1	1i	0	i	1
j1	i	j	1	11	0	1	1

Следует обратить внимание на комплементарность (взаимодополняе - мость, взаимоинверсность) значений переменных : 0+1=1, i+j=1, 0&1=0, i&j=0. В связи с этим вполне естественно назвать такую логику комплементарной. Для приведённых базисных функций комплементарной логики как и для 3-значной логики также справедлив закон Де Моргана.

При решении системы логических уравнений вначале определяется так называемая полная единица задачи (системы), а потом отыскивается решение уравнения относительно одной из переменных. Под решением здесь и далее понимается преобразование исходного уравнения к явному виду относительно одной из переменных. Поскольку построение полной единицы системы не вызывает затруднений, рассмотрим решение логического уравнения с помощью таблиц истинности, считая полную единицу (m) известной.

В качестве примера рассмотрим именно ту задачку, с которой автор начинал освоение классической логики. Тогда, в 1995г.,только что получив в подарок от его книжку «Начала информатики»[3], я заявил, что в логике нет и не может быть проблем, поскольку там всё понятно даже четверокласснику. В ответ Учитель предложил решить любое логическое уравнение. Я ответил, что справлюсь с этим за 5 минут. При всём при том я даже не знал, что такое «решение логического уравнения». Я взял в качестве уравнения первое, что пришло в голову: M = ab+cd. заявил, что это сложное уравнение, но мне оно таким не казалось – я справился с ним за обещанные 5 минут. Надеюсь, что Читатель тоже уложится в этот интервал.

Пример 1.

Дано : m = ab + cd = 1

Найти : d = f(a, b,c)

Решение.

На основании исходного логического уравнения полной единицы строим таблицу истинности для разрешённых наборов, т. е. тех наборов, на которых исходное уравнение имеет решение, т. е. разворачиваем ДНФ в СДНФ. Перенеся столбцы a, b,c из исходной таблицы в качестве значений аргументов, а столбец d - в качестве значений искомой функции, получим таблицу истинности для d = f(a, b,c).

По полученной таблице заполним карту Карно, откуда после минимизации выведем соотношения для d = f(a, b,c). Если на некотором наборе функция принимает значение как 0, так и 1, то в соответствующую клетку карты Карно вписываем символ i. Если на каком либо наборе функция не определена, то в соответствующую клетку карты Карно вносим значение j. Здесь и далее апостроф означает отрицание аргумента или функции. Применение карты Карно не имеет принципиального значения : просто автор считает карты Карно наиболее эффективным инструментом для минимизации булевых функций.

Клетки карты Карно с координатами 011 и 111 заполнены значением i, т. к. на этих наборах(индивидах, конституентах) d принимает значения как 0, так и 1. Наборы 000, 001 и 010 в таблице отсутствуют, поскольку при таких значениях аргументов исходное уравнение не имеет решения, поэтому соответствующие карты Карно заполнены символом j.