Русская вероятностная логика (стр. 32 )

В 8 клетках скалярной диаграммы множество У, состоящее из 4 элементов можно разместить различными способами, число которых определяется как число сочетаний из n=8 по ny=4, т. е. C(n, ny) = C(8,4) = 8*7*6*5/4! = 70. Однако при соблюдении условия Axy количество вариантов размещения элементов множества У существенно меньше. Их число определяется из следующих соображений. Два элемента множества У должны обязательно занимать 1-ю и 2-ю клетки диаграммы. Оставшиеся (ny-nx) = 4-2 = 2 элемента можно разместить в 6 клетках с 3-ей по 8-ю включительно разными способами, число которых определяется как число сочетаний C(n-nx, ny-nx) = C(8-2,4-2) = C(6,2) = 6*5/2! = 15.

Таким образом, вероятность P(Axy) = C(n-nx, ny-nx)/C(n, ny) = 15/70 = 3/14.

P(Axy) = C(n-nx, ny-nx)/C(n, ny)

Вероятность события Exy.

Пусть известно nx - количество элементов множества Х и ny – количество элементов множества Y, а также n – число элементов в универсуме U. Требуется определить вероятность события «Ни один Х не есть У», т. е. найти P(Exy). Построим скалярные диаграммы для случая n=8, nx=2, ny=4.

Общее количество вариантов размещения элементов множества У в универсуме как и в предыдущем случае равно C(n, ny) = C(8,4) = 8*7*6*5/4! = 70. Количество вариантов размещения элементов множества У при соблюдении условия Exy определяется по формуле C(n-nx, ny) = C(8-2,4) = C(6,4) = C(6,2) = 6*5/2! = 15.

Таким образом, вероятность P(Exy) = C(n-nx, ny)/C(n, ny) = 15/70 = 3/14.

P(Exy) = C(n-nx, ny)/C(n, ny)

Вероятность события Ixy.

Пусть известно nx - количество элементов множества Х и ny – количество элементов множества Y, а также n – число элементов в универсуме U. Требуется определить вероятность события «Некоторые Х суть У», т. е. найти P(Ixy). Построим скалярные диаграммы для случая n=8, nx=2, ny=4.

Общее количество вариантов размещения элементов множества У в универсуме как и в предыдущих случаях равно C(n, ny) = C(8,4) = 8*7*6*5/4! = 70. Для выполнения условия Ixy нужно, чтобы один элемент множества Y размещался или в клетке 1, или в клетке 2, но не в двух сразу (тогда получится Axy). Таким образом, существуют две равновеликих группы вариантов размещения элементов множества Y при выполнении требования Ixy. Рассчитаем количество размещений для одной группы вариантов. Оно определяется числом сочетаний

C(n-nx, ny-1) = C(8-2,4-1) = C(6,3) = 6*5*4/3! = 20.

Следовательно, общее количество вариантов размещения элементов множества Y при выполнении условия Ixy составит 2*20 = 40.

Таким образом, вероятность P(Ixy) = C(n-nx, ny-1)/C(n, ny) = 40/70 = 4/7. Определим сумму вероятностей P(Axy)+P(Exy)+P(Ixy) = 3/14+3/14+4/7 = 1. Следовательно,

P(Ixy) = 1 – P(Axy) – P(Exy).

Для «разминки» решим следующую задачку.

Задача 9.1.

Некоторые студенты (m) – отличники (x).

Некоторые студенты (m)– блондины (y).

------------------------------------------------

Найти f(x, y), если известно, что в компании молодёжи из 10 человек студенты составляют 20%, отличники – тоже 20%, а блондины – 40%.

Решение.

Классическая логика однозначно утверждает, что заключения не существует. Однако в Русской логике эта задача легко решается. Примем в качестве универсума (U) всю компанию молодёжи из 10 человек, тогда получим решение по алгоритму ТВАТ: Ixy = x'+i= Ix’y(5), т. е. «Некоторые не-отличники – блондины».

Такое интегрированное заключение не противоречит здравому смыслу, но не имеет количественной оценки возникновения возможных ситуаций Axy, Exy, Ixy.

Определим эти вероятности, для чего найдём количество всевозможных способов реализации второй посылки Imy, т. е. k(Imy). Нам известны количественные характеристики: n=10, m=2, x=2, y=4. Отсюда получим, используя формулу для сочетаний

k(Imy) = 2 x C(n-m, y-1) = 2 x C(8,3) = 2 x 56 = 112.

Аналогично найдём количество возможных вариантов для заключений Axy, Exy, Ixy.

k(Axy) = C(n-x-1,y-x) = C(7,2) = 21.

k(Exy) = C(n-x-1,y-1) = C(7,3) = 35.

k(Ixy) = C(n-x-1,y-1) + C(n-x-1,y-2) = C(7,3) + C(7,2) = 35 + 21 = 56.

Проверка подтверждает, что k(Axy)+k(Exy)+k(Ixy) = k(Imy).

Теперь легко находятся вероятности всех вариантов заключений.

P(Axy) = k(Axy)/k(Imy) = 21/112 = 3/16.

P(Exy) = k(Exy)/k(Imy) = 35/112 = 5/16.

P(Ixy) = k(Ixy)/k(Imy) = 56/112 = ½ = 0,5.

Алгоритм «Циклон» (синтез многовариантных силлогизмов).

1.  Убедиться, что для всех терминов-множеств исходных посылок и универсума силлогизма указаны количественные характеристики (заданы мощности множеств или хотя бы соотношения между ними).

2.  Изобразить все возможные ситуации для исходных посылок с помощью скалярных диаграмм Лобанова.

3.  Определить вероятность каждого варианта заключения, используя формулы вычисления количества сочетаний.

4.  В том случае, когда первой посылкой является общеутвердительное или общеотрицательное суждение, то достаточно определить вероятности заключений по одному варианту из всех возможных для первой посылки.

Необходимо отметить влияние количественной характеристики терминов на заключение силлогизма.

Задача 9.2.

Дана полная единица системы в виде M = AxmImy. Найти заключение.

Решение.

Поскольку содержимое терминов не оговорено, то мы имеем право представить решение задачи в виде следующих скалярных диаграмм.

Из таблицы истинности выведем соотношение: f(x, y) = x'+i= Ix’y(5).

Задача 9.3.

Сохраним условие предыдущей задачи, т. е. пусть M = AxmImy. Но оговорим количественные характеристики множеств U, M, X, Y. Пусть множество универсума содержит 5 элементов, т.е. nU = 5, а остальные характеристики соответственно nM = 3, nX = 1, nY = 2. Найти заключение.

Решение.

Диаграммы примут вид:

Из таблицы истинности выведем соотношение: f(x, y) = x'+i= Ix’y(5). Хотя интегрированное заключение и не изменилось, но количество вариантов решения уменьшилось: здесь физически невозможна ситуация Ixy. Таким образом, решение силлогизма зависит и от соотношения содержимых терминов, т. е. от мощностей всех задействованных множеств. В этой задаче несложно подсчитать вероятности вариантов заключений (на скалярных диаграммах представлено лишь по одному варианту для Exy, Axy).

P(Exy) = 4/6 = 2/3,

P(Axy) = 2/6 = 1/3.

Задача 9.4.

Пусть M = AxmAym и nU = 5, nM = 3, nX = 2, nY = 1. Найти заключение.

Решение.

F(x, y) = y’ + i = Ixy’(5), т. е. «Некоторые Х суть не-У» в 5-м базисе. Вероятностные характеристики различных вариантов заключений легко находятся из диаграмм.

P(Exy) = 1/3.

P(Ayx) = 2/3.

Задача 9.5.

Пусть M = AxmImy и nU = 5, nM = 3, nX = 2, nY = 3. Найти заключение.

Решение.

Диаграммы примут вид:

Из таблицы истинности выведем соотношение: f(x, y) = x'+y+i= Ix’y(2). Определим вероятностные характеристики.

n = n(Imy) = C(3,1)*C(2,2)+C(3,2)*C(2,1) = 3*1+3*2 = 9.

n(Axy) = 1.

n(Ixy) = 9-1 = 8.

P(Axy) = n(Axy)/n = 1/9.

P(Ixy) = n(Ixy)/n = 8/9.

Задача 9.6.

Пусть M = AxmAym и nU = 6, nM = 4, nX = 2, nY = 2. Найти заключение.

Решение.

Диаграммы примут вид:

Из таблицы истинности выведем соотношение: f(x, y) = x'y’+i= Ix’y’(3). Определим вероятностные характеристики.

n = n(Aym) = C(4,2)=4* 3/2 = 6.

n(Exy) = 1.

n(x=y) = 1.

n(Ixy) = 6-(1+1) = 4(на рисунке представлен лишь один вариант из 4-х).

P(Exy) = n(Exy)/n = 1/6.

P(x=y) = 1/6.

P(Ixy) = n(Ixy)/n = 4/6 = 2/3.

Задача 9.7.

Пусть M = AxmAym и nU = 6, nM = 4, nX = 2, nY = 3. Найти заключение.

Решение.

Диаграммы примут вид:

Из таблицы истинности выведем соотношение: f(x, y) = x'+y+i= Ix’y(2). Определим вероятностные характеристики.

n = n(Aym) = C(4,3)=4* 3*2/6 = 4.

n(Axy) = 2.

n(Ixy) = 4 - 2 = 2.

P(Axy) = 2/4 = 1/2.

P(Ixy) = n(Ixy)/n = 2/4 = 1/2.

Задача 9.8.

Пусть M = AxmAym и nU = 6, nM = 5, nX = 3, nY = 2. Найти заключение.

Решение.

Диаграммы примут вид:

Из таблицы истинности выведем соотношение: f(x, y) = x'+y+i= Ix’y(2). Определим вероятностные характеристики.

n = n(Aym) = C(5,2)=5* 4/2 = 10.

n(Exy) = 1.

n(Ayx) = C(3,2) = 3*2/2 = 3

n(Ixy) = 10 – (1+3) = 6.

P(Exy) = 1/10.

P(Ayx) = 3/10.

P(Ixy) = n(Ixy)/n = 6/10 = 3/5.

Задача 9.9.

Пусть M = AxmImy и nU = 8, nM = 5, nX = 2, nY = 3. Найти заключение.

Решение.

Диаграммы примут вид:

Из таблицы истинности выведем соотношение: f(x, y) = x'+i= Ix’y(5). Определим вероятностные характеристики.

n = n(Iym) = C(5,1)*C(3,2) + C(5,2)*C(3,1) = 5* 3 + 10*3 = 45.

n(Exy) = C(3,1)*C(3,2) + C(3,2) * C(3,1) = 18.

n(Axy) = C(3,1) = 3.

n(Ixy) = 45-(18+3) = 24.

P(Exy) = n(Exy)/n = 18/45 = 2/5.

P(Axy) = 3/45 = 1/15.

P(Ixy) = n(Ixy)/n = 24/45 = 8/15.

Задача 9.10.

Пусть M = AxmImy и nU = 8, nM = 5, nX = 2, nY = 3. Найти заключение задачи 9.9 при смене мест посылок.

Решение.

Диаграммы примут вид:

Из таблицы истинности выведем соотношение: f(x, y) = x'+i= Ix’y(5), т. е. от перестановки посылок заключение не изменилось. Определим вероятностные характеристики.