Русская вероятностная логика (стр. 33 )

n = n(Axm) = C(5,2) = 5* 4/2 = 10.

n(Exy) = C(3,2) = 3.

n(Axy) = 1.

n(Ixy) = 10-(1+3) = 6.

P(Exy) = n(Exy)/n = 3/10.

P(Axy) = 3/45 = 1/10.

P(Ixy) = n(Ixy)/n = 6/10 = 3/5.

Мы получили совершенно иные вероятностные характеристики, чего быть не может. Это связано с тем, что при частной посылке, стоящей на первом месте необходимо рассматривать не один вариант Imy, а все

n = n(Iym) = C(5,1)*C(3,2) + C(5,2)*C(3,1) = 5* 3 + 10*3 = 45, и находить среднее значение вероятностных характеристик. Поэтому для упрощения расчётов нужно на первое место ставить общеутвердительную или общеотрицательную посылку.

Задача 9.11.

Для задачи 9.9 M = AxmImy и nU = 8, nM = 5, nX = 2, nY = 3. Найти заключения при различных вариантах первой общеутвердительной посылки.

Решение.

Таких вариантов будет C(5,2) = 10. Для первого варианта диаграммы примут вид:

Из таблицы истинности выведем соотношение: f(x, y) = x'+i= Ix’y(5). Определим вероятностные характеристики.

n = n(Iym) = C(5,1)*C(3,2) + C(5,2)*C(3,1) = 5* 3 + 10*3 = 45.

n(Exy) = C(3,1)*C(3,2) + C(3,2) * C(3,1) = 18.

n(Axy) = C(3,1) = 3.

n(Ixy) = 45-(18+3) = 24.

P(Exy) = n(Exy)/n = 18/45 = 2/5.

P(Axy) = 3/45 = 1/15.

P(Ixy) = n(Ixy)/n = 24/45 = 8/15.

Все 10 вариантов диаграмм для данного силлогизма дают одинаковые вероятностные характеристики заключений. Это означает, что в том случае, когда первой посылкой является общеутвердительное или общеотрицательное суждение, то достаточно определить вероятности заключений по одному варианту из всех возможных.

Задача 9.12.

Пусть M = AmxAmy и nU = 5, nM = 1, nX = 2, nY = 3. Найти заключение.

Решение.

Из скалярных диаграмм видно, что

n(Amy) = C(4,2) = 6, n(Axy) = C(3,1) = 3, n(Ixy) = C(3,2) = 3.

P(Axy) = n(Axy)/n(Amy) = 3/6 = 0,5.

P(Ixy) = n(Ixy)/n(Amy) = 3/6 = 0,5.

Задача 9.13.

Пусть M = AmxAmy и nU = 5, nM = 2, nX = 3, nY = 4. Найти заключение.

Решение.

Из скалярных диаграмм получим такие результаты.

n(Amy) = C(3,2) = 3, n(Axy) = C(2,1) = 2, n(Ixy) = 1.

P(Axy) = n(Axy)/n(Amy) = 2/3.

P(Ixy) = n(Ixy)/n(Amy) = 1/3.

Задача 9.14.

Пусть M = AmxAmy и nU = 6, nM = 2, nX = 3, nY = 4. Найти заключение.

Решение.

Из скалярных диаграмм получим такие результаты.

n(Amy) = C(4,2) = 6, n(Axy) = C(3,1) = 3, n(Ixy) = 6-3 = 3.

P(Axy) = n(Axy)/n(Amy) = 3/6 = 0,5.

P(Ixy) = n(Ixy)/n(Amy) = 3/6 = 0,5.

Решение в общем виде для ситуации nu>(nx+ny-nm), ny>nx, nx>nm :

n(Amy) = C(nu-nm, ny-nm), n(Axy) = C(nu-nx, ny-nx), n(Ixy) = n(Amy)-n(Axy).

P(Axy) = C(nu-nx, ny-nx)/ C(nu-nm, ny-nm),

P(Ixy) = n(Ixy)/ C(nu-nm, ny-nm) = [C(nu-nm, ny-nm) - C(nu-nx, ny-nx)]/ C(nu-nm, ny-nm).

Задача 9.15.

Пусть M = EmxEmy и nU = 3, nM = 1, nX = 1, nY = 1. Найти заключение.

Решение.

Найдём интегрированное заключение по алгоритму ИЭИ.

M = EmxEmy = (m’+x’)(m’+y’) = m’+x’y’

F(x, y) = x’y’ + i = Ix’y’(3).

Вероятностные оценки двухвариантного заключения:

P(Exy) = 0,5; P(x ~ y) = 0,5.

Задача 9.16.

Пусть M = AmxAmy и nU = 4, nM = 1, nX = 2, nY = 3. Найти заключение.

Решение.

Интегрированное заключение f(x, y) = y+i = Ixy(7).

Вероятностные характеристики двухвариантного заключения:

P(Axy) = 2/3; P(Ixy) = 1/3.

Задача 9.17

Пусть M = ImxImy и nU = 6, nM = 3, nX = 2, nY = 3. Найти заключение.

Решение.

Интегрированное заключение: f(x, y) = x’+i = Ix’y(5).

Задача 9.18

Пусть M = ImxImy и nU = 5, nM = 3, nX = 2, nY = 3. Найти заключение.

Решение.

Интегрированное заключение: f(x, y) = x’y+i = Ix’y(3).

Задача 9.19

Пусть M = ImxImy и nU = 4, nM = 2, nX = 2, nY = 2. Найти заключение.

Решение.

Интегрированное заключение: f(x, y) = i, т. е. нет заключения.

Вероятностные характеристики 3-вариантного заключения:

P(Exy) = ¼; P(x~y) = ¼, P(Ixy) = ½.

Результаты решения трёх последних примеров ярко высвечивают зависимость заключения не только от объёма терминов и универсума, но и от соотношения этих объёмов.

Задача 9.20.

Вернёмся к вышеприведённому тесту Ф. Джонсон-Лэрда и М. Стидмена:

Ни один химик не есть пчеловод.

Некоторые пчеловоды - художники.

--------------------------------------------

Некоторые художники - не химики.

Решение.

Пусть универсум состоит из химиков, пчеловодов и художников, причём n=4, m=2, x=1, y=2. Решение представлено на диаграммах ЛВИ.

Из диаграмм видно, что заключение двухвариантно: Exy, Axy. Определим вероятности этих вариантов: P(Exy), P(Axy).

N(Imy) = C(2,1)*C(2,1) = 2*2 = 4

N(Exy) = C(2,1)*C(1,1) = 2

N(Axy) = C(2,1)*C(1,1) = 2

P(Exy) = n(Exy)/n(Imy) = 2/4 = 0,5

P(Axy) = n(Axy)/n(Imy) = 2/4 = 0,5.

Поскольку авторы силлогизма не имели ни малейшего представления о вероятностной силлогистике, то они в принципе не имели права тестировать студентов. Кроме того сам тест задан некорректно: не указаны количественные характеристики терминов и не определён универсум.

Аналогично, вероятностным методом, решается задача нахождения недостающей посылки.

Алгоритм «Комета» вероятностного синтеза недостающей посылки

(вероятностный графический синтез недостающей посылки).

1.  Изобразить на диаграммах Лобанова исходную посылку и все варианты заданного заключения.

2.  Определить вероятность каждого варианта искомой посылки.

Задача 9.21.

Дано: Axm & f(m, y) → Exy, n=6, m=3, x=1, y=2.

Найти f(m, y).

Решение.

По п.1 алгоритма «Комета» строим диаграммы Лобанова и определяем, что в этом случае искомая посылка трехвариантна.

По п.2 алгоритма «Комета» находим

K(Exy) = C(5,2) = 20/2 = 10.

K(Emy) = C(3,2) = 3. P(Emy) = 0,3.

K(Aym) = 1. P(Aym) = 0,1.

K(Imy) = 10-3-1 = 6. P(Imy) = 0,6.

Аналитический метод дал бы единственный результат: Emy.

Глава десятая

Дисциплина мышления.

Человеческое мышление по своей природе хаотично, неорганизованно, аморфно, недисциплинированно. Автор в этом отношении не является исключением из общего правила. Стоит ли огорчаться по данному поводу? Вероятно, с этим нужно смириться как с неизбежностью. Ведь мы не бьём тревогу относительно того, что не в силах состязаться с ЭВМ в шахматах и прочих рутинных вычислительных операциях. Человек – это изумительное по совершенству создание, его предназначение состоит в решении творческих, эвристических задач, где «неорганизованность» мышления, возможно, играет главную роль. Заставлять человека играть в шахматы – это то же самое, что забивать микроскопом гвозди. Однако вооружить человека инструментом, дисциплинирующим мышление, можно и нужно. Эта задача значительно сложнее и важнее повальной компьютеризации. Зачастую компьютеризация превращает нас в «мартышек с арифмометром», а дисциплинирование мышления такой катастрофой не грозит. К тому же если «знание – это сила», то «мышление – это могущество». Поэтому игра стоит свеч. В качестве такого «мыслительного инструмента» выступает Русская логика.

Проиллюстрируем её возможности на конкретном примере. Бертран Рассел в своей работе «История западной философии» (М.:2000 –768с.) на стр.194 приводит силлогизм:

Все люди разумны.

Некоторые животные – люди.

Некоторые животные – разумны.

Покажем на этом примере недостатки мышления Б. Рассела. Во-первых, отсутствие дисциплины мышления проявляется в отсутствии универсума, хотя даже 100 лет назад Льюис Кэрролл[11] не позволял себе такого невежества. Определим, например, в качестве универсума весь животный и растительный мир. Во-вторых, последняя посылка по утверждению и с позиции русской логики просто безграмотна: в силу симметрии частно-утвердительного функтора мы должны считать, что некоторые люди – животные, а остальные - растения или ещё что-нибудь неодушевлённое. В соответствии с русской логикой и здравым смыслом вторую посылку необходимо заменить суждением «Все люди – животные». В-третьих, по теории великого русского физиолога разумными могут быть люди и только люди, т. е. «люди» и «разумные существа» – эквивалентные понятия.. Следовательно, и первая посылка некорректна. Рассела, получим следующие посылки.

Все люди(m) и только люди разумны(x).

Все люди(m) – животные(y).

F(x, y) = ?

Решение.

Пусть x – разумные существа, m – люди, y – животные. Универсум – животный и растительный мир.

M = (x»m)Amy = (xm+x’m’)(m’+y) = m’x’+xmy+x’m’y = m’x’+xmy

F(x, y) = x’+y = Axy.

Таким образом мы получили правильное заключение «Все разумные – животные», что вполне согласуется со здравым смыслом.

Рассмотренные примеры демонстрируют не только дремучее невежество Б. Рассела, но и его бестолковость. Маститый академик и Нобелевский (так и хочется сказать Шнобелевский) лауреат шаблонно использовал при решении задачи фигуры и модусы (хрупкие костыли Аристотеля для интеллектуальных инвалидов типа телевизионных «знатоков»), которые не учитывают содержание терминов силлогизма и универсума.