Метрологическое обеспечение измерительных систем (стр. 45 )

Для нахождения функции В(Н) можно использовать различные методы интерполирования или аппроксимации функций. Методы интерполяции чаще всего предполагают использование интерполяционных многочленов, представляемых в формах Лагранжа или Ньютона [1]. Другим подходом является сплайн-интерполяция функции [2]. Для аппроксимации функции В(Н) наиболее часто используется метод наименьших квадратов (МНК) [1], при котором данные аппроксимируются функцией, применимой во всем диапазоне табличных данных, но необязательно проходящей через все точки. На этом этапе возникает проблема получения аналитического выражения, описывающего вид аппроксимирующей линии для каждой марки электротехнической стали. Для решения данной задачи предлагается воспользоваться методикой построения градуировочной характеристики, которая рекомендуется нормативными документами [3] на основе полиномиальной аппроксимации.

Функциональную зависимость магнитной индукции от напряженности поля можно описать алгебраическим полиномом степени k. В этом случае согласно [3] рекомендуется перейти к разложению по ортогональным полиномам Чебышева, который обеспечивает наилучшее приближение на конечном интервале:

,

где Y – выходная величина (магнитная индукция), Х – входная величина (напряженность поля), Рj – полином степени j, ортогональныq относительно Хi, bj – коэффициенты.

По предельной петле гистерезиса конкретной марки электротехнической стали, определенной экспериментально, строится градуировочная характеристика полиномиального вида. Для электротехнической стали характерна симметричная петля гистерезиса [2]. В этом случае целесообразно петлю гистерезиса представить в виде двух симметричных частей: 1) (+Нs … 0 … – Нs); 2) (–Нs … 0 ... + Нs) и отдельно для каждой из них построить градуировочную характеристику.

Как известно [4], степень полинома определяется количеством экстремумов кривой. Чаще всего петля гистерезиса содержит два экстремума, для описания такой петли гистерезиса достаточно рассмотреть полином третьей степени (k = 3) [4].

Вышеописанная методика была использована для обработки экспериментальных данных по исследованию магнитных свойств электротехнической стали марки 20895. В результате получена функциональная зависимость следующего вида:

1) на участке (+Нs … 0 ... – Нs):

В = – 0,2·10-8 Н 3 – 0,7·10-6 Н 2 + 0,0039 Н + 0,6647;

2) на участке (–Нs … 0 ... + Нs):

В = – 0,2 10-8 Н 3 + 0,7 10-6 Н 2 + 0,0039 Н – 0,6632.

При полиномиальной аппроксимации количество измеряемых точек, необходимых для построения В(Н), на единицу больше показателя степени аппроксимирующего полинома [4]. Таким образом, для полинома третьего порядка необходимо минимум четыре измеряемые точки. Однако для повышения степени достоверности полученной аппроксимирующей линии и снижения погрешности аппроксимации целесообразно увеличить число измеряемых точек. В любом случае при построении петли гистерезиса будут проявляться два эффекта: эффект “слишком малого объема измеряемых точек” и эффект “слишком большого объема измеряемых точек”. Малое количество измеряемых точек приводит к получению недостоверных результатов, а слишком большое – к усложнению расчетов и неоправданным временным и аппаратурным затратам. Снижение трудоемкости измерений может быть достигнуто за счет выбора такого количества точек измерений, которое будет достаточно для определения параметров петли гистерезиса.

Для этой цели предлагается способ поиска количества точек исходя из заданных требований к погрешностям определения параметров петли гистерезиса.

Решение поставленной задачи включает в себя:

– анализ формы конкретной петли гистерезиса и выделение на ней нескольких поддиапазонов;

– определения числа измеряемых точек в каждом поддиапазоне.

При дискретном изменении напряженности поля наблюдается изменение крутизны получаемой зависимости В(Н), а, следовательно, изменяется влияние погрешности задания напряженности поля на погрешность измерений магнитной индукции εВ. Поэтому для определения достаточного числа точек измерений необходимо проводить исследование формы петли гистерезиса на различных её участках. Для иллюстрации на рис. 1 приведена половина петли гистерезиса электротехнической стали марки 20895 на участке (+Нs … 0 ... – Нs).

Здесь: ∆Н – предел допускаемой абсолютной погрешности задания напряженности поля, εВ1 и εВ2 – погрешности измерений магнитной индукции, вызванные погрешностью задания напряженности поля ∆Н.

В соответствии с рис. 1, одинаковым приращениям напряженностей магнитного поля в различных точках диапазона соответствуют различные приращения магнитной индукции.

На начальном этапе анализа петли гистерезиса определяется наличие точек перегиба. Для этого находятся все значения функции
В = f(Нi), для которых вторая производная равна нулю или не существует. При переходе через эти точки функция будет менять знак.

Далее в каждом диапазоне (+Нs … 0 ... – Нs) и (–Нs … 0 ... + Нs) определяется количество точек, в которых функция меняет свой знак. Данное число показывает количество поддиапазонов, на которые следует разбить петлю гистерезиса.

Рис. 1. Влияние погрешности задания напряженности поля
на погрешность измерений магнитной индукции

Для определения количества измеряемых точек предлагается использовать метод, основанный на получении устойчивых оценок Вальда или Бартлетта. Согласно [3], для получения устойчивых оценок Вальда или Бартлетта весь выбранный подддиапазон напряженностей разбивают на 2 или 3 равных интервала (в порядке возрастания Нi) и далее находят медианы значений Нi () в каждом интервале. Затем каждый интервал еще раз делится на 2 или 3 отрезка, и определяются медианы значений ().

Процедура повторяется до тех пор, пока согласно заданному критерию не будет принято решение об окончании эксперимента.

Поскольку в ходе измерений петли гистерезиса определяются разноименные величины Н и В, то согласно [3], такие измерения можно отнести к совместным, для которых рассматривают системы так называемых условных уравнений [5].

Исходя из погрешности задания напряженности поля и погрешности измерения магнитной индукции, определим достаточное количество точек для построения петли гистерезиса на основе принципа Лежандра – с точки зрения минимизации суммы квадратов невязок qi [5]:

hВi (Н1, … Нi, hН1 … hНi) – hВi+1(Н1, … Нi+1, hН1 … hНi+1) = qi,

где – hВi (Н1, … Нi, hН1 … hНi) – относительная погрешность измерений значения В в диапазоне Н1…Нi; hВi+1(Н1, … Нi+1, hН1 … hНi+1) – относительная погрешность измерений значения В в диапазоне Н1…Нi+1; i = 1…n.

Найдем hВ1 … hВi из условия

.

Для выполнения этого условия необходимо, чтобы

Поскольку hВi носит случайный характер, отклонение hВi от среднего может характеризоваться как дисперсия погрешности hВi (Di). Используя абсолютные погрешности εВi можно записать

.

Для определения достаточного количества точек измерений воспользуемся критерием Фишера [4]. Данный критерий позволяет сравнить две оценки дисперсии погрешностей измерений Di и Di-1, полученных при различном количестве измеряемых точек на i-м и (i–1)-м шаге. Согласно [4], критерий Фишера F вычисляется по формуле:

.

Если вычисленные значения критерия F больше критического для заданного уровня значимости, определенного по таблице, то различие между εВi и εВi-1 можно считать несущественным, и измерения прекращают. Если значение F меньше критического, то целесообразно проведение дополнительных измерений.

Используя предложенную методику определения частоты измерений для уровня значимости p = 0,05 для определения петли гистерезиса электротехнической стали марки 20895 было достаточно провести измерения в 25 точках.

Литература

1. Исмаилов  измерения: Учеб. пособие. – СПб, 2000. – 290 с.

2. Смирнов  и средства функциональной диагностики и контроля диагностических процессов на основе электромагнитных датчиков / Ульяновский государственный технический университет. – Ульяновск: УлГТУ, 2001. – 190 с.

3. МИ 2175-91. “ГСИ. Градуировочные характеристики средств измерений. Методы построения, оценивание погрешностей”.

4. Никольский  математического анализа. Т.2 – М.: Наука, 1983. – 464 с.