Практическая часть (стр. 2 )

е); ж); з); и)

Задачи к практическому занятию

1. ; 2. ; 3. ; 4. ;

5. ; 6. ; 7. ; 8. ;

9. ; 10. ; 11. ; 12.;

13.; 14. ; 15. ; 16. ;

17.; 18.; 19. ; 20.

3. Замена переменной и интегрирование по частям (продолжение)

Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен

Задания для подготовки к практическому занятию

Прочитайте §18.1 лекций и предложенные рассуждения, ответьте на вопросы и решите задачи

Итак, для вычисления неопределенного интеграла необходимо свести его к табличному, выбирая для этого на каждом шаге одно из трех действий:

- упрощение (разложение на слагаемые),

- замену переменной (включая сюда и внесение под дифференциал),

- интегрирование по частям.

Примеры

- табличный интеграл (вынести )

- упростить, разделив почленно числитель на знаменатель

- сделать замену t=-(x2+1) (или внести х под знак дифференциала)

- берется по частям (u=x, dv=cos(1-px)dx)

Выделение полного квадрата в квадратном трехчлене – способ выбора замены переменной. Для того, чтобы выделить полный квадрат, надо вспомнить формулу сокращенного умножения:

Подчеркнуты два слагаемых, на которые мы будем опираться при выделении полного квадрата. Перепишем равенство:

Пример

Рассмотрим квадратный трехчлен . Прежде всего вынесем за скобки множитель перед х2:

Первые два слагаемых в скобках соответствуют первым двум слагаемым в правой части формулы квадрата суммы. Следовательно, очевидно, . Таким образом, получаем:

.

Вопросы и задачи

п1. Рассмотрите предложенные интегралы. Какое действие следует выполнить в первую очередь (упрощение, замену (указать, какую), интегрирование по частям (указать разбиение))?

а); б); в); г); д);

е) ; ж); з); и)

п2. Выделить полный квадрат:

а); б) ; в)

Задачи к практическому занятию

1. ; 2. ; 3. ; 4.;

5. ; 6.; 7.; 8.;

9. ; 10.

11. ; 12. ; 13. ; 14.;

15. ; 16. ; 17. ; 18. ;

19. ; 20.

4. Интегрирование рациональных функций

Задания для подготовки к практическому занятию

Прочитайте §18.2 лекций и предложенные рассуждения. Ответьте на вопросы и решите задачи.

Для того, чтобы проинтегрировать рациональную дробь (многочлен в числителе, многочлен в знаменателе), обычно нужно ее упростить (как вы помните, это значит – представить в виде суммы).

Если дробь неправильная, то есть степень числителя не меньше степени знаменателя, следует числитель разделить на знаменатель, выделив целую часть.

Пример . Вычислить .

Так как дробь неправильная, выделим целую часть. Делить будем в столбик, примерно так, как делят числа: так, чтобы все время уничтожалась наивысшая степень делимого, для этого каждый раз элемент частного получается делением старшей степени делимого на старшую степень делителя:

Таким образом, дробь представляется в виде . Следовательно,

.

Делением в столбик можно пользоваться при любой степени знаменателя. Справедливости ради стоит отметить, что если знаменатель первой степени, как в приведенном примере, может оказаться проще сделать замену (в данном случае t=x+2), так что числитель будет делить на знаменатель почленно.

Если под интегралом находится правильная дробь (степень числителя меньше степени знаменателя), то знаменатель раскладывают на множители (это возможно для всякого многочлена степени выше 2 и для половины многочленов степени 2) и пользуются теоремами об отделении, представляя дробь в виде суммы элементарных дробей с неопределенными коэффициентами

Пример. Для дроби выписать разложение в сумму элементарных дробей с неопределенными коэффициентами:

Степень числителя 4, степень знаменателя 5, дробь правильная. Воспользуемся последовательно первой теоремой об отделении: