Практическая часть (стр. 5 )

в) Запишем уравнение в дифференциальной форме, умножив на dx:

и соберем все слагаемые с dx в правой части, приведя подобные слагаемые:. Очевидно, это уравнение с разделяющимися переменными (следует разделить обе части уравнения на )

г) Предложенное уравнение записано в дифференциальной форме. Поскольку функции, входящие в него, не раскладывается на множители, это не уравнение с разделяющимися переменными. Но они являются однородными (т. к. все слагаемые в них одной степени), поэтому данное уравнение – однородное (и приводится к уравнению с разделяющимися переменными подстановкой )

д) Предложенное уравнение записано в дифференциальной форме и, очевидно, не является уравнением с разделяющимися переменными. Это также не однородное уравнение, так как в него входят слагаемые как степени 1, так и степени 0. Запишем это уравнение в нормальной форме, выразив : . Согласно замечанию на с.10, это уравнение приводится к однородному.

Вопросы и задачи:

п1. Дано дифференциальное уравнение:. Являются ли решениями этого уравнения функции:

а) ; б) ; в) ?

Можно ли утверждать, что приведено общее решение данного уравнения?

п2. Из приведенных уравнений выберите ОДУ 1-го порядка. Запишите их в дифференциальной форме и в виде уравнения, разрешенного относительно производной:

а); б); в);

г); д); е);

ж); з); и)

п3. Укажите среди уравнений из п2 уравнения с разделяющимися переменными; приводящиеся к ним; однородные уравнения; приводящиеся к однородным (если есть)

Задачи к практическому занятию

1.; 2.; 3.;

4.; 5.;

6.; 7.;

8.; 9.; 10.

11.; 12.;

13.; 14.

11. Линейные уравнения и уравнения Бернулли.

Уравнения в полных дифференциалах.

Задания для подготовки к практическому занятию

Прочитайте лекции, §25.5-7 и предложенные примеры. Ответьте на вопросы и решите задачи

Примеры: Даны ОДУ 1-го порядка. Определить их тип (если возможно):

а); б); в)

г) ; д)

а) Уравнение дано в дифференциальной форме. Оно не является уравнением с разделяющимися переменными и однородным. Представим его в нормальной форме, разрешив относительно : . Это линейное уравнение (относительно у), в котором .

б) Легко видеть, что уравнение не является уравнением с разделяющимися переменными и однородным. Представим его в нормальной форме, разрешив относительно : . Очевидно, оно не является линейным относительно у, так как переменная у входит в него не как множитель первой степени. Но мы можем также разрешить это уравнение относительно : . Это уравнение является линейным относительно х, причем .

в) Уравнение не является уравнением с разделяющимися переменными или однородным. Разрешим его относительно : . В правую часть полученного уравнения у входит дважды: как множитель 1 степени и как множитель степени –2. Следовательно, это уравнение Бернулли относительно у, причем a=-2

г) Нетрудно убедиться, что уравнение не относится к уравнениям с разделяющимися переменными, однородным (и приводящимся к ним), линейным или уравнениям Бернулли. Проверим, не является ли оно уравнением в полных дифференциалах. Здесь

.

Найдем частные производные этих функций по у и по х соответственно:

. Очевидно, , то есть данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

д) Снова проверим, не является ли данное уравнение уравнением в полных дифференциалах, поскольку к остальным известным нам типам оно не принадлежит. Здесь .

. Полученные выражения не совпадают, следовательно, это не уравнение в полных дифференциалах. Однако

- не зависит от у, следовательно, легко подобрать интегрирующий множитель и привести данное уравнение к уравнению в полных дифференциалах (см. с.15)

Вопросы и задачи

п1. Определить, если возможно, тип уравнений:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д)

Задачи к практическому занятию

1.; 2.; 3.;

4.; 5.;

6. ; 7.;

8.; 9.;

10.; 11.. 12.;