Практическая часть (стр. 1 )

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1. Неопределенный интеграл. Табличное интегрирование.

Задания для подготовки к практическому занятию

Прочитайте лекции §16 и §17.1 и приведенные ниже примеры. Ответьте письменно на вопросы и решите задачи.

Выучите основную таблицу интегралов.

Примеры

1. Проверьте, верно ли найден интеграл:

Решение. Произвольное постоянное слагаемое С – непременный атрибут любого неопределенного интеграла. Чтобы проверить, верно ли найдена первообразная функция в правой части данного равенства, следует найти ее производную:

.

Поскольку полученная производная не совпадает с подынтегральной функцией , значит, интеграл найден не верно.

(Заметим впрочем, что исправить ситуацию в данном случае легко, домножив правую часть данного равенства на : .)

Вычислить интегралы:

2. ; 3. ; 4.; 5.

Решение:

2. Данный интеграл является табличным (№10) с точностью до постоянного множителя 2 перед х2:

3. Представим дробь под интегралом в виде суммы, разделив почленно числитель на знаменатель:

.

4. Чтобы свести данный интеграл к табличным, применим простые тригонометрические преобразования:

5. Интеграл отличается от табличного (№3) линейной заменой (5-3х вместо х). Воспользуемся правилом линейной замены (§17.1):

.

Вопросы и задачи

п1. Проверить, верно ли вычислены интегралы:

а) ; б) ; в)

п2. Решить:

а); б); в) ;

г) ; д) ; е) ; ж) ;

з) ; и) ; к) ; л)

Задачи к практическому занятию

1. ; 2. ; 3. ; 4. ;

5. ; 6. ; 7. ; 8. ;

9. ; 10. ; 11. ; 12. ;

13.; 14.; 15.; 16.;

17. ; 18.; 19. ; 20.

21. ; 22.; 23.; 24.

2. Замена переменной; интегрирование по частям

Задания для подготовки к практическому занятию

Прочитайте §17.2, 17.3 лекций и предложенные рассуждения и примеры. Решите задачи.

При вычислении любого неопределенного интеграла следует ответить для себя на следующие вопросы:

- является ли интеграл табличным? Может быть, он отличается от табличного лишь линейной заменой?

- если нет, может ли интеграл быть упрощен, то есть можно ли представить подынтегральную функцию в виде суммы (в этом случае каждое из слагаемых интегрируется отдельно, начиная с первого вопроса)?

- если нет, имеет ли смысл пользоваться внесением под знак дифференциала? (впрочем, если вы не уверенно пользуетесь этим методом, этот вопрос можно опустить)

Если на все три вопроса ответ отрицательный, стоит попробовать сделать замену переменной (подстановку). Обычно при выборе подстановки удобно бывает руководствоваться принципами:

- заменять надо то, что не нравится («эстетический принцип»; обратите внимание: «не нравится» не потому, что мешает вычислить интеграл, а именно из эстетических соображений – например, корень, логарифм, знаменатель дроби);

- заменяемая функция t=t(x) не должна быть сложной (впрочем, иногда это допускается, если внутренняя функция линейная);

- если под интегралом находится сложная функция, следует заменить ее аргумент.

Иногда при этом приходится последовательно делать несколько замен переменных (или применять подведение под дифференциал).

Следует отметить, что во всех случаях, когда можно воспользоваться внесением под знак дифференциала, можно вместо этого сделать замену переменной.

Пример.

Предложенный интеграл не является табличным, даже с точностью до линейной замены («мешает» х в числителе); не может быть сведен к сумме; вносить х под дифференциал бессмысленно, т. к. остальное выражение зависит не от х2.

Попробуем выполнить замену переменной. Перечисленным выше принципам отвечает подстановка t=1-2x (это аргумент корня, который находится в знаменателе дроби). Сделаем замену; формулы, по которым замена производится, будем записывать внутри строки вычислений в фигурных скобках:

.

Отметим, что в данном случае вместо замены переменной можно было воспользоваться и подведением под знак дифференциала. Обратно, во всех случаях, когда применяется подведение под дифференциал, можно пользоваться вместо этого заменой переменной.

Метод интегрирования по частям применяется в стандартных случаях, перечисленных в §17.3. Он может помочь и в других случаях, но прежде следует исследовать возможность замены переменной. Примеры применения метода интегрирования по частям см.§17.3

Вопросы и задачи.

п1. Вычислите интегралы, применяя предложенные подстановки:

а); б) (t=x-1); в) (t=x2+2х)

п2. Какие из предложенных интегралов следует вычислять «по частям», не упрощая и не производя замену переменной? Какое для них выбрать разбиение подынтегрального выражения?

а); б); в); г); д);