Практическая часть (стр. 4 )

Задачи к практическому занятию

Вычислить определенные интегралы:

1.; 2.; 3.; 4. ;

5. ; 6. ; 7. ; 8. ;

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

9. ; 10.

11. 12.

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость:

13. ; 14. ; 15. ; 16.;

17. ; 18. ; 19.; 20. ;

21. ; 22. ; 23. ; 24.

8. Функции нескольких переменных

Задания для подготовки к практическому занятию

Прочитайте §22 лекций (обратите внимание на примеры!) и предложенный пример. Ответьте на вопросы и решите задачи.

Пример.

Найти область определения функции

В данном случае на область определения функции накладываются ограничения из-за того, что аргумент логарифмической функции должен быть строго положителен: . Переписав это неравенство в виде мы убеждаемся, что границей искомой области служит окружность (с центром в начале координат, радиуса 3).

Окружность разбивает плоскость хОу на две части; несложно убедиться, что неравенству отвечает внутренняя область, то есть круг с центром в начале координат радиуса 3 (без границы, т. к. неравенство строгое).

Вопросы и задачи

п1. Найти и показать на чертеже область определения функции

а) б) в)

п2. Для данной функции найти: частные производные первого порядка; первый дифференциал; градиент; дивергенцию

а) ; б)

Задачи к практическому занятию

Найти частные производные второго порядка для данной функции; убедиться, что :

1. ; 2. ; 3. ; 4. ;

5. ; 6. ; 7. ; 8.

Исследовать функцию на экстремум:

9. ; 10. ;

11. ; 12.

9. Двойной интеграл

Задания для подготовки к практическому занятию

Прочитайте § 23 лекций и предложенные рассуждения. Ответьте на вопросы и решите задачи

Отметим здесь, что при интегрировании функции z(x; y) по переменной х, так же как и при дифференцировании, считают y=const и пользуются обычными правилами вычисления интеграла. При этом пределы интегрирования могут зависеть от у (но не от х).

Точно так же можно интегрировать функцию по у в пределах, зависящих от х (или просто постоянных).

Примеры

1.

.

2.

Полученную при этом функцию можно далее интегрировать по второй переменной, в постоянных пределах:

3.

Интеграл, вычисленный в последнем примере, называется повторным интегралом и записывать его принято так:

Вопросы и задачи

п1. Вычислить интегралы, если возможно:

а) ; б) ; в)

п2. Вычислить повторные интегралы:

а) ; б)

Задачи к практическому занятию

Вычислить двойной интеграл по области, ограниченной указанными линиями:

1.; 2.;

3.; 4.

Изменить порядок интегрирования:

5.; 6.;

7.; 8.

Вычислить:

9.

10.

11.

12.

10. ОДУ первого порядка.

Уравнения с разделяющимися переменными и однородные уравнения

Задания для подготовки к практическому занятию

Прочитайте лекции, §§24, 25.1,3,4 и предложенные примеры. Ответьте на вопросы и решите задачи

Примеры: Даны ОДУ 1-го порядка. Определить их тип (если возможно):

а) ; б) ; в) ;

г);

д)

а) Запишем уравнение в дифференциальной форме. Для этого умножим обе его части на dx, учитывая что , получаем: . Левую часть полученного уравнения раскладывается на множители:

. Очевидно, это уравнение с разделяющимися переменными, т. к. если разделить обе его части на , то все у соберутся слева, а все х – справа.

б) Запишем уравнение в дифференциальной форме, умножив на dx:

. Поскольку функция в правой части уравнения не раскладывается в произведение, это уравнение не является уравнением с разделяющимися переменными. Но его нормальная форма (которая и дана в задании) соответствует уравнению, приводящемуся к уравнению с разделяющимися переменными при помощи подстановки z=y-x (см замечание на с.8)