Доказательства и опровержения. Как доказываются теоремы (стр. 11 )

Гамма. Но я никогда не говорил, что здесь необходи­мо бесконечное множество контрапримеров. В не­котором пункте мы можем дойти до истины и тогда поток опровержений прекратится. Но, конечно, мы не будем знать, когда это будет. Решающими являются только опро­вержения — доказательства же относятся к области психо­логии[91].

Ламбда. Я все-таки верю, что свет абсолютной досто­верности вспыхнет, когда взорвутся опровержения!

Каппа. А взорвутся ли они? А что если Бог так со­здал многогранники, что все правильные общие их опреде­ления, формулированные человеческим языком, будут бес­конечно длинными? Разве не будет богохульным антропо­морфизмом предполагать, что (божеские) верные теоремы обладают конечной длиной?

Будьте откровенны; по той или другой причине нам всем надоели опровержения и складывание теорем по ку­сочкам. Почему бы нам не сказать «шабаш» и прекратить игру? Вы уже отказались от «Quod erat demonstrandum». Почему бы не отказаться также и от «Quod erat demonstratum*»? Ведь истина только для Бога.

Тета (в сторону). Религиозный скептик — худший враг науки!

Сигма. Не будем чрезмерно драматизировать! В конце концов дело идет лишь об узкой полутени неясности. Про­сто, как я сказал раньше, не все предложения бу­дут или истинными, или ложными. Есть и тре­тий класс, который я хотел бы теперь назвать «более или менее строгими».

Тета (в сторону). Трехзначная логика — конец кри­тического рационализма!

Сигма... и мы область их применимости определяем с более или менее адекватной строгостью.

Альфа. Адекватной чему?

Сигма. Адекватной решению задачи, которую мы хо­тим решить.

Тета (в сторону). Прагматизм! Разве уж все потеря­ли интерес к истине?

Каппа. Или адекватной Zeitgeist (Духу времени - Пер.)! «Довлеет дневи строгость его»[92] 83.

Тета. Историзм! (Падает в обморок.)

Альфа. Правила Ламбды для «строгого анализа доказательства» лишают математику ее красоты, дарят нам дотошный педантизм длинных, сложных теорем, наполняющих скучные толстые книги, и могут даже при случае посадить нас в порочную бесконечность. Каппа ищет выхода в условности, Сигма в математическом праг­матизме. Какой выбор для рационалиста!

Гамма. Должен ли такой рационалист насладиться «строгими доказательствами» Альфы, его не­членораздельной интуицией, «скрытыми леммами», осмея­нием принципа обратной передачи ложности и исключени­ем опровержений? Должна ли математика не иметь ника­ких отношений с критицизмом и логикой?

Бета. Во всяком случае я устал от всей этой, не при­водящей к решению, словесной грызни. Я хочу заниматься математикой и я не заинтересован философскими трудно­стями оправдания ее оснований. Даже если рассудок не в состоянии дать такое оправдание, то меня успокаивает мой природный инстинкт[93].

Я чувствую, что у Омеги есть интересная коллекция возможных доказательств — я лучше бы послушал их.

Омега. Но я помещу их в «философскую» оболочку!

Бета. Мне нет дела до упаковки, если внутри имеется что-нибудь.

Замечание.

В этом отделе я попытался показать, каким образом выступление математического критицизма было движущей силой в поисках «оснований» математики.

Сделанное нами различие между доказательством и анализом доказательства и соответствующее различение строгости доказательства и стро­гости анализа доказательства, по-видимому, является решающим. Около 1800 г. строгость дока­зательства (кристально ясный мысленный экспери­мент или конструкция) противопоставлялась путаной аргу­ментации и индуктивному обобщению. Именно это подразу­мевал Эйлер под термином «rigida demonstratio», и на этом понятии была основана идея Канта о непогрешимой мате­матике [см. его пример математического доказательства в книге (1781), стр. 716—717]. Точно так же думали, что человек доказывает то, что он вознамерился доказать. Ни­кому не приходило в голову, что словесное выражение мыс­ленного эксперимента сопряжено с какой-нибудь реальной трудностью. Аристотелева формальная логика и математи­ка были двумя совершенно раздельными дисциплинами — математики считали первую совершенно бесполезной. До­казательство мысленного эксперимента имело полную убе­дительность без какой-нибудь формы «логической» струк­туры.

В начале XIX в. поток контрапримеров вызвал смуще­ние. Так как доказательства были кристально ясными, то опровержения должны были быть занятными шалостями, должны быть полностью отделены от несомненных дока­зательств. Введенная Коши революция строгости базировалась на эвристическом нововведении, что матема­тик не должен останавливаться на доказательстве: он дол­жен пойти вперед и выяснить, что именно он доказал пу­тем перечисления исключений, или, лучше, установления безопасной области, в пределах которой доказательство является справедливым. Но Коши — или Абель — не видели какой-либо связи между обеими задачами. Им ни когда не приходило в голо­ву, что если они открыли исключение, то им следовало бы еще раз обратить внима­ние на доказательство. (Другие практиковали устранение или приспособление монстров, или даже «за­крывали глаза» — но все соглашались, что доказательство представляет табу и не может иметь никакого дела с «исключениями».)

Происшедший в XIX в. союз логики и математики имел два основных источника: неевклидову геометрию и вейерштрассову революцию строгости. Этот союз привел к объединению доказательства (мысленного эксперимента) и опровержений и дал возможность разви­вать анализ доказательства, постепенно вводя дедук­тивные формы в мысленный эксперимент доказательства. Эвристическим нововведением было то, что мы назвали «методом доказательства и опровержений»: оно впер­вые соединило логику и математику. Вейерштрассова строгость одержала победу над ее реакционными оппонентами с устранениями монстров и скрытыми лемма­ми, которые пользовались лозунгами вроде «скуки от стро­гости», «искусственности против красоты» и т. д. Стро­гость анализа доказательства стала выше строгости доказательства, но большинство ма­тематиков мирилось с таким педантизмом лишь до тех пор, пока он обещал им полную достоверность.

Теория множеств Кантора, давшая еще одну жатву неожиданных опровержений «строго доказанных» теорем, обратила многих членов старой гвардии Вейерштрасса в догматиков, всегда готовых сражаться с «анархистами» при помощи устранения новых монстров или отыскания «скрытых лемм» в их теоремах, которые представляли последнее слово строгости, и в то же время карали «реак­ционеров» более старого типа за такие же грехи.

Затем некоторые математики поняли, что стремление к строгости анализа доказательства в методе доказатель­ства и опровержений ведет к порочной бесконечности. Началась «интуиционистская» контрреволюция; разру­шающий логико-лингвистический педантизм анализа доказательства был осужден и для доказательства были изобретены новые экстремистские стандарты строгости, математика и логика были разведены еще раз.

Логики пытались снасти это супружество и провали­лись на парадоксах. Гильбертова строгость превратила математику в паутину анализов доказательства и потребовала остановки их бесконечных спусков путем кристально ясной совместимости доказательств с интуиционистской метатеорией. «Обосновательный слой», область не подлежащего критике предварительно­го знания (Uncriticisable familiarity), переместился в мы­сленные эксперименты математики. (См. Lakatos, 1962, стр. 179-184.)

При каждой «революции строгости» анализ доказа­тельства проникал, все глубже в доказательства вплоть до «обосновательного слоя» (foundational layer) хорошо знакомого основного знания (familiar background knowledge)* , где верховно правила кристально ясная ин­туиция, строгость доказательства, а критика изгонялась. Таким образом, различные уровни строгости отличаются только местом, где они про­водят линию между строгостью анализа доказательства и строгостью доказатель­ства, т. е. местом, где должен остановиться критицизм и должно начаться подтвержде­ние. «Достоверность» никогда не может быть достигнута, «основания» никогда не могут быть обоснованы, но «хит­рость разума» превращает всякое увеличение строгости в увеличение содержания, в цель математики. Но эта история лежит вне пределов настоящего исследования.

6. Возвращение к критике доказательства при помощи контрапримеров, которые являются локальными, но не глобальными. Проблема содержания

а) Возрастание содержания при более глубоких доказательствах

Омега. Мне нравится у Ламбды его метод доказа­тельства и опровержений и я разделяю его веру, что как-нибудь мы сможем окончательно дойти до строгого ана­лиза доказательства и таким образом до достоверно истин­ной теоремы. Но даже и так сам наш метод создает новую задачу: анализ доказательства при возраста­нии достоверности уменьшает содержание. Каждая новая лемма в анализе доказательства, каждое соответствующее. новое условие в теореме уменьшают область ее применения. Возрастающая строгость приме­няется к уменьшающемуся числу многогранников. Разве включение лемм не повторяет ошибки, которую сделал Бета в игре на безопасность? Разве мы тоже не смогли бы «отступить слишком радикально, оставляя вне стен большое количество эйлеровых многогранников»?[94] В обо­их случаях мы могли бы вместе с водой выплеснуть и: ре­бенка. Мы должны иметь противовес против уменьшающего содержание давления стро­гости.

Мы уже сделали несколько шагов в этом направле­нии. Позвольте мне напомнить вам о двух случаях и снова исследовать их.

Один случай мы имели, когда впервые натолкнулись на локальные, но не глобальные примеры[95]. Гамма опро­верг третью лемму в нашем первом анализе доказатель­ства (именно, что «при вынимании треугольников из плоской триангулированной сети мы встречаемся только с двумя возможностями: или мы вынимаем одно ребро, или же мы вынимаем два ребра и вершину»). Он вынул треугольник из середины сети, не вынимая ни одного ребра или вершины.