Доказательства и опровержения. Как доказываются теоремы (стр. 6 )

Гамма. А как с моим цилиндром? Ведь он вы­пуклый?

Бета. Это шутка!

Учитель. Забудем на момент об этом цилиндре. Не­которые критические замечания можно выставить даже и без цилиндра. В этой новой видоизмененной версии ме­тода устранения исключений, который так бодро выдумал Бета в ответ на мою критику, постепенный отход заменен стратегическим отступлением в область, которая, как ду­мают, для данной догадки будет твердыней. Вы стреми­тесь к безопасности. Но так ли вы безопасны, как думаете? У вас нет никаких гарантий, что внутри вашей твердыни но найдется никаких исключений. Кроме того, есть и противоположная опасность. Может быть, вы слишком ра­дикально отступили, оставив за стеной большое количе­ство эйлеровых многогранников? Наша первоначальная догадка могла быть чрезмерным утверждением, но ваш «усовершенствованный» тезис, по-моему, очень сильно сма­хивает на утверждение с недостатком; и все же вы не можете быть уверены, что он также не будет чрезмерным утверждением.

Мне также хотелось бы выставить мое второе возра­жение: вы в своей аргументации забываете о доказатель­стве; делая предположение относительно области правиль­ности догадки, по-видимому, вы совсем не нуждаетесь в доказательстве. Конечно, вы не думаете, что доказатель­ства являются излишними?

Бета. Этого я никогда не говорил.

Учитель. Да, этого вы не сказали. Но вы открыли, что наше доказательство не доказывает нашей первона­чальной догадки. А будет ли оно доказывать вашу исправ­ленную догадку? Скажите же мне это[45]35.

Бета. Ну...

Эта. Благодарю вас, сэр, за этот аргумент. Смущение Беты ясно обнаруживает превосходство опороченного ме­тода устранения уродств. Ведь мы говорим, что доказа­тельство доказывает то, что было предложено доказать, и наш ответ совершенно недвусмыслен. Мы не позво­ляем своенравным контрапримерам свободно уничтожать респектабельные доказательства, даже если они переоде­ваются в скромные «исключения».

Бета. Я ничуть не смущен тем, что мне приходится разработать, исправить и — извините меня, сэр,— усо­вершенствовать мою методологию под стимулом кри­тики. Мой ответ таков. Я отбрасываю первоначальную догадку как ложную, потому что для нее имеются исклю­чения. Также я отбрасываю и доказательство, потому что те же исключения, по крайней мере для одной из лемм, будут тоже исключениями (по вашей терминологии это значит, что глобальный контрапример является необхо­димо и локальным). Альфа остановился бы на этом ме­сте, так как опровержения, по-видимому, вполне удовлет­воряют его интеллектуальным способностям. Но я иду дальше. Подходящим ограничением сразу и догадки и доказательства их собственной областью я совершенствую догадку, которая теперь становится истинной, и со­вершенствую в своей основе здравое доказательство, которое становится теперь строгим и, очевидно, уже не будет содержать ложных лемм. Например, мы видели, что не все многогранники после устранения одной грани могут быть растянуты на плоскости в плоскую фигуру. Но это может быть сделано со всеми выпуклыми много­гранниками. Поэтому мою усовершенствованную и строго доказанную догадку я имею право назвать теоремой. Я снова формулирую ее: «Все выпуклые многогран­ники являются эйлеровыми». Для выпуклых мно­гогранников все леммы будут, очевидно, истинными и до­казательство, которое в его ложной всеобщности не было строгим, в ограниченной области выпуклых многогранников станет строгим. Итак, сэр, я ответил на ваш вопрос.

Учитель. Итак, леммы, которые когда-то выглядели очевидно истинными до открытия исключения, будут опять выглядеть очевидно истинными, ...пока не открыто новое исключение. Вы допускаете, что положение: «Все много­гранники являются эйлеровыми» было догадкой; вы толь­ко что допустили, что «Все многогранники без полостей и туннелей являются эйлеровыми» было тоже догадкой, по­чему же не допустить, что «Все выпуклые многогранники являются эйлеровыми» может тоже оказаться догадкой!

Бета. На этот раз не догадкой, а интуицией!

Учитель. Я ненавижу вашу претенциозную «интуи­цию». Я уважаю сознательную догадку, потому что она происходит от лучших человеческих качеств: смелости и скромности.

Бета. Я предложил теорему: «Все выпуклые много­гранники являются эйлеровыми». Против нее вы произне­сли речь. Можете ли вы предложить контрапример?

Учитель. Вы не можете быть уверены, что я этого не сделаю. Вы улучшили первоначальную догадку, но вы не можете требовать признания, что усовершен­ствовали эту догадку, чтобы достичь совершенной строгости в вашем доказательстве.

Бета. А вы это можете?

Учитель. Я тоже не могу. Но я думаю, что мой ме­тод улучшения догадок будет улучшением вашего, так как я установлю единство, настоящее взаимодействие между доказательствами и контрапримерами.

Бета. Я готов учиться.

г) Метод исправления монстров

Ро. Сэр, могу я мимоходом сказать несколько слов?

Учитель. Пожалуйста.

Ро. Я согласен, что мы должны отбросить данный Дельтой метод устранения монстров как общий методоло­гический подход, потому что этот метод не рассматривает монстры серьезно. Бета тоже не рассматривает свои «ис­ключения» серьезно; он просто составляет их список, а по­том уходит в безопасную область. Таким образом, оба эти метода интересны только в ограниченном, привилегиро­ванном поле. Мой метод не практикует дискриминации. Я могу показать, что «при более пристальном рассмотре­нии исключения становятся лишь кажущимися и теорема Эйлера сохраняет свою силу даже для так называемых исключений» [46].

Учитель. В самом деле?

Альфа. А как может быть обыкновенным эйлеровым многогранником мой третий контрапример «морской еж»? (См. рис. 7.) В качестве граней он имеет 12 звездчатых пятиугольников.

Ро. Я не Вижу никаких «звездчатых пятиугольников». Разве вы не видите, что в действительности этот много­гранник имеет обыкновенные треугольные грани. Их всего 60. Он имеет также 90 ребер и 32 вершины. Его «эйлерова» характеристика равна 2 [47]. Двенадцать «звезд­чатых пятиугольников», их 30 «ребер» и 12 «вершин», дающих характеристику 6, существуют только в. вашей фантазии. Существуют не монстры, а только монстролюбивые толкования. Нужно очистить свой ум от извращенных иллюзий, надо научиться видеть и правильно определять, что видишь. Мой метод терапевтический: там где вы — ошибочно — «видите» контрапример, я учу вас узнавать — правильно — простой пример. Я исправляю ваше монстролюбивое зрение[48].

Альфа. Сэр, пожалуйста, объясните ваш метод, пре­жде чем Ро выстирает наши мозги[49].

Учитель. Пусть он продолжает.

Ро. Я уже высказал, что хотел.

Гамма. Не могли бы вы поговорить подробнее относи­тельно вашей критики метода Дельты? Вы оба заклинали монстров...

Ро. Дельта попался в плен ваших галлюцинаций. Он согласился, что наш «морской еж» имеет 12 граней, 30 ре­бер и 12 вершин и не является эйлеровым. Его тезис заклю­чался в том, что «морской еж» даже не является много­гранником. Но он ошибся в том и другом смысле. Ваш «морской еж» является и многогранником и притом эйлеровым. Но его звездчато-многогранное понима­ние было неправильным толкованием. С вашего разреше­ния, это не воздействие «морского ежа» на здоровый чи­стый ум, но искаженное воздействие на больной ум, корча­щийся в муках[50].

Каппа. Но как вы можете отличать здоровые мозги от больных, рациональные толкования от уродливых? [51]

Ро. А меня только удивляет, как вы можете их сме­шивать.

Сигма. А вы, Ро, действительно думаете, что Альфа никогда не замечал, что его «морской еж» мог быть истол­кован как треугольный многогранник? Конечно, он мог это заметить. Но более внимательный взгляд открывает, что эти треугольники всегда лежат по пяти в одной пло­скости и окружают в телесном угле правильный пяти­угольный тайник — как бы их сердце. Но пять правиль­ных пятиугольников составляют так называемую пента­грамму, которая, по словам Теофраста Парацельза, была знаком здоровья...[52]

Ро. Суеверие!

Сигма. И вот таким образом для здорового ума от­крывается тайна «морского ежа»: это новое до сих пор еще неведомое правильное тело с правильными гранями и рав­ными телесными углами, красота симметрии которого мо­жет открыть нам тайны всеобщей гармонии...[53]

Альфа. Благодарю вас, Сигма, за вашу защиту, ко­торая еще раз убеждает меня, что оппоненты могут при­чинить меньше помех, чем союзники. Конечно, мою многогранную фигуру можно толковать или как треуголь­ный или как звездчатый многогранник. Я согласен одина­ково допустить оба толкования...

Каппа. Вы согласны?

Дельта. Но, конечно, одно из них будет истинным толкованием.

Альфа. Я согласен одинаково допустить оба толко­вания, но одно из них наверняка будет глобальным контрапримером для догадки Эйлера. Зачем же допускать только то толкование, которое «хорошо подходит» к пред­взятым мнениям Ро? Во всяком случае, сэр, не объясните ли вы нам теперь ваш метод?

д) Улучшение догадки методом включения лемм. Рожденная доказательством теорема против наивной догадки

Учитель. Вернемся к раме картины. Во-первых, я признаю, что она является настоящим глобальным контрапримером для эйлеровой догадки, а также настоящим ло­кальным контрапримером для первой леммы моего дока­зательства.

Гамма. Извините меня, сэр, но каким образом рама картины опровергает первую лемму?

Учитель. Выньте сначала одну грань, а потом по­пробуйте растянуть ее в плоскую фигуру на доске. Вам это не удастся.

Альфа. Чтобы помочь вашему воображению я скажу, что после вынимания грани вы можете растянуть оставше­еся на доске у тех и только тех многогранников, которые надуванием возможно превратить в шар.