Доказательства и опровержения. Как доказываются теоремы (стр. 30 )

Однако можно добавить одно интересное замечание. Первым классом многогранников, который когда-нибудь подвергался иссле­дованию, были пять обыкновенных правильных многогранников и квазиправильные многогранники вроде призм и пирамид (ср. Евклид). После Возрождения этот класс был распространен в двух направлениях. Одно из них указано в тексте: включены все вы­пуклые и некоторые слегка заостренные многогранники. Другое направление принадлежало Кеплеру: он расширил класс правиль­ных многогранников изобретением правильных звездчатых много­гранников. Но кеплерово нововведение было забыто и возобновлено лишь Пуансо (см. прим. 26.). Звездчатые многогранники Эйлеру наверняка не снились. Коши знал их, но его ум был как-то разде­лен на отдельные помещения: когда у него появлялась интересная идея о звездчатых многогранниках, то он публиковал ее; однако, представляя контрапримеры для своей общей теоремы о много­гранниках, он игнорировал звездчатые многогранники. Молодой Пуансо (1809) поступал не так, но позже он изменил свое мнение (см. прим. 49).

Таким образом, утверждение Пи, хотя и правильное с эври­стической точки зрения (т. е. верное в рациональной истории мате­матики), исторически является ошибочным. (Это не должно нас беспокоить: действительная история часто бывает карикатурой на рациональные ее реконструкции).

[149] Интересный пример определения, включающего монстры, представляет данное Пуансо вторичное определение выпуклости, включающее звездчатые многогранники в респектабельный класс выпуклых правильных

[150] Фактически так и было в случае Коши. Непохоже, чтобы Коши, уже открыв свой революционный метод устранения исклю­чений (см. замечание автора), не стал бы искать и не нашел бы некото­рых исключений. Не он, вероятно, подошел к проблеме исключений только позже, когда решил расчистить хаос в анализе. (По-види­мому, Люилье первый заметил и учел тот факт, что такой «хаос» не ограничивается анализом).

Историки, в частности Steinitz в работе (1814—1831), гово­рят, что Коши, заметив неуниверсальную годность его теоре­мы, установил ее только для выпуклых многогранников. Дей­ствительно, в своем доказательстве он пользуется выражением «выпуклая поверхность многогранника» (1811, стр. 81), а в своей работе (1812) он возобновляет теорему Эйлера под общим заглави­ем «теоремы о телесных углах и выпуклых многогранниках». Но, вероятно, для противодействия этому заглавию он особенно подчер­кивает универсальную приложимость теоремы Эйлера ко всяким многогранникам (теорема XI, стр. 94), тогда как три остальных теоремы (теорема XIII и два ее следствия), он формулирует специально для выпуклых многогранников (стр. 96 и 98).

Почему у Коши небрежна терминология? Понятие Коши о мно­гограннике почти совпадало с понятием выпуклого многогран­ника. Но оно не совпадало в точности: Коши знал вогнутые много­гранники, которые можно получить, слегка вдавливая во внутрь грань выпуклого многогранника, но он не обсуждал казавшихся неуместными дальнейших подтверждений — не опровер­жений — его теоремы. (Подтверждения нельзя рав­нять с контрапримерами, или даже с «исключе­ниями», в качестве катализаторов роста понятий). Такова причина случайного употребления Коши слова «выпуклый»; скорее это было неудачей, невозможностью понять, что вогнутые многогранники могут дать контрапримеры, чем сознательной попыткой исключить эти контрапримеры. В том же самом пара­графе он аргументирует, что теорема Эйлера представляет «непо­средственное следствие» леммы, что V — Е + F — 1 для плоской многоугольной сети, и утверждает, что «для приложимости теоре­мы V — Е + F = 1 не имеет значения, лежат ли многоугольники в одной, или в различных плоскостях, так как теорема интересу­ется только числом многоугольников и числом их составных эле­ментов» (стр. 81). Этот аргумент вполне правилен в узкой концеп­туальной системе Коши, но будет неправильным в более широкой, в которой «многогранником» можно назвать, скажем, картинную раму. Этот аргумент часто повторялся в первой половине девятнад­цатого столетия [См. Оливье (Olivier), 1826, стр. 230, или Грунерт (Grunert), 1827, стр. 367, или Балцер (Н. Baltzer), 1860—1862, т. И, стр. 207. Он был раскритикован Беккером (1869), стр. 68].

Часто, как только расширение понятия опро­вергает предложение, то опровергнутое пред­ложение кажется такой очевидной ошибкой, что нельзя даже представить, как могли се сделать великие математики. Эта важная характерная черта опро­вержения, связанного с расширением понятий, объясняет, почему уважаемые историки, не понимая, что понятия растут, создают для себя лабиринты проблем. После того, как они спасли Коши указанием, что он, вероятно, не мог упустить из виду «многогран­ников, которые не были простыми», и поэтому он «категорически» (!) ограничил теорему областью выпуклых многогранников, уважа­емые историки должны теперь объяснить, почему граничная линия Коши «без всякой необходимости» была так узка. Почему он игнорировал невыпуклые эйлеровы многогранники? Объяснение Штейница таково: корректная формулировка теоремы Эйлера должна быть сделана в терминах связности поверхностей. Так как во времена Коши это понятие еще не было «ясно схвачено», то простейшим выходом было принять выпуклость (стр. 20). Так Штейниц объясняет ошибку, которой Коши никогда не делал.

Другие историки идут путем, отличным от этого. Они говорят, что до момента достижения правильной концептуальной системы (т. е. той, которую они знают) была только «средневековая тьма» с «редкими, если таковые и были, здравыми» результатами. Таким моментом в теории многогранников было, по Лебегу (1923, стр. 59—60), доказательство Жордана (Jordan, 1866) или, по Беллу (Bell, 1945, стр. 460), доказательство Пуанкаре (1895).

[151] См. реплику Омеги в параграфе 6, а.

[152] См. прим. 55.

[153] Дарбу (1874) близко подошел к этой идее. Позже она была ясно сформулирована Пуанкаре: «Математика есть искусство да­вать то же имя различным вещам... Если выбрать хороший язык, то можно удивиться, узнав, что доказательства, подготовленные для известного предмета, непосредственно применимы ко многим новым предметам без дальнейших изменений — можно даже удержать названия» (1908, стр. 375). Фреше называет это «необычайно полез­ным принципом обобщения» и формулирует его так: «Если ряд свойств математической единицы, использованный в доказатель­стве предложения об этой единице, не определяет эту единицу, то предложение может быть распространено так, что может быть применимо к более общей единице» (1928, стр. 18). Он указывает на то, что такие обобщения не являются тривиальными и «могут требовать очень больших усилий» (там же).

[154] Коши не заметил этого. От данного Учителем его доказа­тельство отличалось одной важной деталью: Коши в своей работе (1811—1812) не воображал, что многогранники сделаны из резины. Новизна идеи его доказательства заключалась в том, что он представлял многогранник как поверхность, а не как твердое тело вместе с Евклидом, Эйлером и Лежандром. Но эту поверхность он представлял твердой. Когда он вынимал одну грань и оставшуюся пространственную сеть многоугольников накладывал на плоскую многоугольную сеть, то он не представлял это наложение как растягивание, которое могло бы изогнуть грани или ребра. Первым математиком, заметившим, что доказательство Коши может быть выполнено на многогранниках с изогнутыми гранями, был Крелле (1826—1827, стр. 671—672), но он тщательно придерживался прямых ребер. Для Кэйли, однако, казалось возможным узнать «с первого взгляда», что «теория не изменится существенно, если допустить, что ребра могут быть кривыми ли­ниями» (1861, стр. 425). То же самое замечание было независимо сделано в Германии Листингом (1861, стр. 99) и во Франции Жорданом (1866, стр. 39).

[155] Эта теория образования понятия соединяет образование понятий с доказательствами и опро­вержениями. Полья соединяет ее с наблюдениями. «Когда физики начали говорить об «электричестве», или врачи о «заразе», то эти термины были смутными, неясными, спутанными. Термины, употребляемые современными учеными, вроде «электрический за­ряд», «электрический ток», «бактериальные» или «вирусные» за­ражения, несравненно яснее и определеннее. Однако между обеими этими терминологиями находится громадная масса наблюдений, множество остроумных опытов и также несколько больших откры­тий. Индукция изменила терминологию, выяснила понятия. Этот аспект процесса, индуктивное разъяснение понятий мы можем пояснить также и математическими примерами» (1954, т. I, стр. 55). Но даже эта ошибочная индуктивистская теория образования понятий предпочтительнее попыток сделать образование понятий автономным, сделать «выяснение» или «объяснение» понятий предисловием к любой научной дискуссии.

[156] См. параграф 6, в.

[157] Гоббс [Hobbes (1654). Animadversions upon the Bishop's Rep­ly, № XXI]

[158] См. прим. 111.

[159] Представляет интерес проследить постепенные изменения от достаточно наивных классификаций многогранников к высоко­теоретическим. Первая наивная классификация, покрывающая не только простые многогранники, идет от Люилье: классификация по числу полостей, туннелей и внутренних много­угольников (см. примечание 134).

а) Полости. Первое доказательство Эйлера, а также собст­венное Люилье (1812—1813, стр. 174—177), основывалось на разло­жении тела при помощи обрезания одного за другим углов, или разложения на пирамиды с одной или многими точками внутри. Однако идея доказательства Коши (Люилье об этом не знал) осно­вывалась на разложении поверхности многогранников. Когда теория многогранных поверхностей полностью вытеснила теорию многогранных тел, то полости стали неинтересными: один «многогранник с полостями» превращают в целый класс многогранников. Таким образом, наше старое устраняющее монстры Опре­деление 2 стало определением, рожденным доказатель­ством, или теоретическим, и таксономическое понятие «полости» исчезло из основного русла развития.

б) Туннели. Уже Листинг указал на неудовлетворительность этого понятия (см. примечание 134). Замена пришла не от какого-нибудь «объяснения» неясного понятия о туннеле, как был бы склонен ожидать последователь Карнапа, но от попытки дока­зать и опровергнуть наивную догадку Люилье об эйлеровой харак­теристике многогранников с туннелями. В течение этого процесса понятие о многограннике с туннелями исчезло и его место заняла рожденная доказательством «многосвязность» (то, что мы назвали «n-сфероидальность»). В некоторых статьях мы находим, что наивный термин удерживается для обозначения нового рожденно­го доказательством понятия: Гоппе число «туннелей» определяет числом разрезов, после которых многогранник остается односвязным (1879, стр. 102). Для Эрнста Штейница понятие о туннеле является уже настолько укоренившимся в теории, что он неспосо­бен найти «существенную» разницу между наивной классифика­цией Люилье по числу туннелей и рожденной доказательством классификацией по многосвязности: поэтому критику Листинга классификации Люилье он считает «в высшей степени оправдан­ной» (1914—1931, стр. 22).