Доказательства и опровержения. Как доказываются теоремы (стр. 5 )

Тета. Я не понимаю вас.

Каппа. Он только следует Новому Завету: «Испыты­вай все; держись крепко за то, что хорошо» (Первое пос­лание к фессалоникийцам, гл. 5, 21).

в) Улучшение догадки методами устранения исключений. Частичные исключения. Стратегическое отступление или безопасная игра

Бета. Я полагаю, сэр, что вы намереваетесь объяснить ваши несколько парадоксальные замечания. Принося вам всяческие извинения за мою нетерпеливость, я все же дол­жен избавиться от их тяжести.

Учитель. Продолжайте.

(Альфа возвращается.)

Бета. Хотя некоторые положения из аргументов Дельты не кажутся мне умными, но я все-таки прихожу к убеждению, что в них есть разумное зерно. Теперь, мне кажется, что ни одно из предположений не является пра­вильным вообще, но только в некоторой ограниченной области, которая не содержит исключений. Я против того, чтобы называть эти исключения «монстрами», или «пато­логическими случаями». По существу это равносильно методологическому требованию не рассматривать их как примеры интересные, имеющие право на самостоя­тельное существование и заслуживающие специального исследования. Но я также против термина «контрапример»; хотя это и дает право принимать их на рав­ной ноге с подтверждающими примерами, но как-то ок­рашивает их в военные цвета, так что некоторые, вроде Гаммы, при их виде приходят в панику и впадают в соб­лазн совсем отказаться от прекрасных и остроумных до­казательств. Нет, они являются только исклю­чениями.

Сигма. Я более чем согласен. Термин «контрапри­мер» имеет агрессивный оттенок и оскорбляет тех, кто нашел доказательство. «Исключение» — это как раз пра­вильное выражение. «Существуют три рода математичес­ких предложений:

1. Те, которые являются всегда справедливыми и для которых нет пи ограничений, ни исключений, например, сумма углов всех плоских треугольников всегда равна двум прямым.

2. Те, которые основаны на некотором ложном прин­ципе и, следовательно, никак не могут быть допущены.

3. Те, которые зависят от правильных принципов, но тем не менее в некоторых случаях допускают ограничения или исключения...»

Эпсилон. Что?

Сигма. «... Не должно смешивать ложные теоремы с теоремами, допускающими некоторые ограничения»[36], Как говорит пословица: исключения подтвер­ждают правило.

Эпсилон (к Каппе). Кто этот путаник? Ему следо­вало бы немного поучиться логике.

Каппа (к Эпсилону). И узнать кое-что об неевкли­довых плоских треугольниках.

Дельта. Хотя мне и трудно, но я должен предска­зать, что в этой дискуссии, вероятно, я и Альфа окажем­ся на одной стороне. Мы оба аргументировали, исходя из той основы, что предложение может быть или ложным или правильным, и расходились лишь в том, будет ли, в частности, правильной или ложной эйлерова теорема. Но Сигма хочет, чтобы мы допустили третью категорию пред­ложений, которые «в принципе» верны, но «в некоторых случаях допускают исключения». Согласиться с мирным сосуществованием теорем и исключений, значит допу­стить в математике хаос и смуту.

Альфа. Согласен.

Эта. Я не хотел мешать блестящей аргументации Дельты, но теперь я думаю, что, может быть, будет по­лезно, если я кратко расскажу историю моего интеллек­туального развития. В мои школьные годы я сделался, как вы сказали бы, устранителем монстров не для защи­ты против людей типа Альфы, но для защиты против типа Сигмы. Я припоминаю прочитанное в журнале относи­тельно теоремы Эйлера: «Блестящие математики предложили доказательства всеобщей правильности этой теоре­мы. Однако она допускает исключения... Необходимо об­ратить внимание на эти исключения, так как даже новей­шие авторы не всегда ясно признают их»[37]. Эта статья не была изолированным дипломатическим упражнением. «Хотя в учебниках и лекциях по геометрии всегда указы­вается, что прекрасная теорема Эйлера V+F=E+2 в не­которых случаях имеет «ограничения», или «не кажется правильной», но еще никто не узнал истинной причины этих исключений» [38]. Я очень внимательно рассмотрел эти «исключения» и пришел к выводу, что они не соответ­ствуют правильному определению рассматриваемых пред­метов. Таким образом, можно восстановить в правах дока­зательство теоремы; тогда хаотическое сосуществование теорем и исключений исчезнет.

Альфа. Хаотическая позиция Сигмы может служить объяснением вашего устранения монстров, но никак не извинением, не говоря уже об оправдании. Почему не ис­ключить хаос принятием верительных грамот контрапримера и отбросить и «теорему» и «доказательство»?

Эта. А почему я должен отбрасывать доказательство? Я не могу видеть в нем ничего неправильного. А вы мо­жете? Мое устранение монстров мне кажется более ра­циональным, чем ваше устранение доказательств.

Учитель. Наши дебаты показали, что устранение монстров может получить более симпатизирующую ауди­торию, если оно будет исходить из дилеммы Эты. Но вернемся к Бете и Сигме. Ведь это Бета перекрестил контрапримеры в исключения. Сигма согласился с Бетой...

Бета. Я рад, что Сигма согласился со мной, но боюсь, что я не могу согласиться с ним. Конечно, существуют три типа предложений: правильные, безнадежно непра­вильные и неправильные, но подающие надежду. Этот последний вид может быть улучшен и возведен в степень правильных при помощи добавления ограничивающих по­ложений, устанавливающих исключения. Я никогда не «приписываю формулам неограниченную область правиль­ности. В действительности большая часть формул справед­лива только при выполнении некоторых условий. Опреде­ление этих условий и, конечно, уточнение смысла упот­ребляемых терминов заставляют у меня исчезать всякую неопределенность»[39]. Как видите, я не являюсь сторон­ником любой формы мирного сосуществования между не­исправленными формулами и исключениями. Я исправ­ляю мои формулы и делаю их совершенными, вроде стоящих в первом классе Сигмы. Это значит, что я при­нимаю метод устранения монстров, поскольку он мо­жет служить для установления области правиль­ности первоначальной догадки; но отбра­сываю его, если он действует как лингвистический трюк для спасения «изящных» теорем при помощи ограничи­вающих положений. Эти два вида функционирования ме­тода Дельты должны быть строго разделены. Мой метод, для которого характерен только первый способ функцио­нирования, мне хотелось бы назвать «методом устра­нения исключений». Я буду использовать его для точного определения области, в которой является пра­вильной догадка Эйлера.

Учитель. Какую же «точно определенную область» эйлеровых многогранников вы обещаете нам? И какова ваша «совершенная формула»?

Бета. Для всех многогранников, не име­ющих полостей (вроде пары куб в кубе) и туннелей (как рама картины), V — Е + F = 2.

Учитель. Вы уверены?

Бета. Да, вполне.

Учитель. А как быть с тетраэдрами-близнецами?

Бета. Извините. Для всех многогранников, которые не имеют полостей, туннелей и «кратной структуры» [40].

Учитель. Вижу. Я согласен с тем, что вы исправля­ете догадку, вместо того чтобы просто принять или не при­нять ее. Я считаю, это лучше и метода устранения мон­стров, и метода сдачи. Однако у меня есть два возражения. Во-первых, я оспариваю вашу уверенность в том, что ваш метод не только улучшает, но даже «совершенствует» догадку, что он делает ее «строго правильной», что он «за­ставляет исчезнуть все неопределенности», Но ad hoc-ность вашего метода уничтожает его шансы на достиже­ние уверенности в истине.

Бета. В самом деле?

Учитель. Вы должны допустить, что каждая новая версия вашего предположения является лишь придуман­ным ad hoc средством исключения только что возникшего контрапримера. Когда вы напали на куб в кубе, вы ис­ключили многогранники с полостями. Когда вам уда­лось заметить картинную раму, вы исключили многогран­ники с туннелями. Я ценю ваш открытый и наблюда­тельный ум; заметить все эти исключения, конечно, очень хорошо, но я думаю, что все же стоило бы внести некоторый метод в ваше слепое отыскивание «исключе­ния». Хорошо, допустим, что положение «все многогран­ники являются эйлеровыми» является только догадкой. Но зачем же статус теоремы, которая более уже не явля­ется догадкой, давать положению, что «все многогранники без полостей, туннелей и еще чего-нибудь являются эйле­ровыми»? Как вы можете быть уверенным, что перечисли­ли все исключения?

Бета. Можете ли дать одно, которое я не учел бы?

Альфа. А что вы скажете о моем «морском еже»?

Гамма. И о моем цилиндре?

Учитель. Мне даже не нужно какое-нибудь кон­кретное новое «исключение» для моей аргументации. Мой аргумент касается только возможности дальнейших исключений.

Бета. Конечно, вы, может быть, правы. Не нужно сразу менять своей позиции при появлении какого-нибудь нового контрапримера. Не нужно говорить: «Если в явле­ниях не находится ни одного исключения, то заключение может быть высказано в общем смысле. Но если в даль­нейшем появится какое-нибудь исключение, то тогда мож­но будет начать высказывать его с тем исключением, ко­торое появилось»[41]. Дайте подумать. Сначала мы высказа­ли догадку, что V-E+F = 2 годится для всех многогранников, потому что мы нашли его верным для кубов, окта­эдров, пирамид и призм. Мы, конечно, не можем принять «этот несчастный путь заключения от частного к обще­му»[42]. Ничего нет удивительного в том, что исключения появляются; скорее поразительно то, что раньше их не было найдено много больше. По-моему, это произошло оттого, что мы главным образом занимались выпуклыми многогранниками. Как только появились другие много­гранники, так наше обобщение уже перестало годиться[43].

Так, вместо постепенного отбрасывания исключений я скромно, но с надежностью проведу граничную линию — «Все выпуклые многогранники являются эй­леровыми»[44]. И я надеюсь, вы согласитесь, что в этом нет ничего гадательного, это уже будет теоремой.