Доказательства и опровержения. Как доказываются теоремы (стр. 14 )

Дзета. Нет, Омега. «На много вопросов иногда бывает легче отве­тить, чем только на один. Новая бо­лее претенциозная проблема может оказаться более легкой, чем первона­чальная»[117] 108. В самом деле, я покажу, что ваша узкая случайная задача мо­жет быть решена только после реше­ния более широкой, существенной.

Омега. Но я хочу раскрыть сек­рет эйлеровости!

Дзета. Я понимаю ваше упорство: вы поставили за­дачу определить, где Бог поместил твердь, отделяющую эйлеровы многогранники от неэйлеровых. Но нет основа­ния думать, что слово «эйлеров» вообще встречалось у Бо­га в плане вселенной. А что если эйлеровость только слу­чайное свойство некоторых многогранников? В этом случае будет неинтересно, или даже невозможно, найти случай­ные зигзаги в демаркационной линии между эйлеровыми и неэйлеровыми многогранниками. Тем более это допуще­ние оставит незапятнанным рационализм, потому что эй­леровость не будет тогда частью рационального плана вселенной. Поэтому забудем об этом. Один из основных пунктов критического рационализма заключается в том, что надо быть всегда готовым во время решения оставить свою первоначальную задачу и заменить ее другой.

б) Индукция как основа метода доказательств и опровержений

Сигма. Дзета прав. Какое несчастье!

Дзета. Несчастье?

Сигма. Да. Вы теперь хотите ввести новую «наив­ную догадку» о соотношении между V, Е и F для любо­го многогранника, не правда ли? Невозможно! Взгляните на большую толпу контрапримеров. Многогранники с по­лостями, многогранники с кольцеобразными гранями, с туннелями, сросшиеся друг с другом в ребрах, в верши­нах... V—E+F может принять вообще любое значение. Вы, пожалуй, не сумеете разглядеть в этом хаосе какой-нибудь порядок! Твердую почву эйлеровых многогран­ников мы покинули для болота! Мы невозвратно потеряли наивную догадку и не имеем надежды получить другую!

Дзета. Но...

Бета. А почему нет? Вспомните кажущийся безна­дежным хаос в нашей таблице чисел вершин, ребер и гра­ней даже у самых обыкновенных многогранников.

	Многогранники	F	V	E
1.	Куб	6	8	12
2.	Треугольная призма	5	6	9
3.	Пятиугольная призма	7	10	15
4.	Четырехугольная пирамида	5	5	8
5.	Треугольная пирамида	4	4	6
6.	Пятиугольная пирамида	6	6	10
7.	Октаэдр	8	8	12
8.	«Башня»	9	9	16
9.	Усеченный куб	7	10	15

Мы столько раз не могли. подобрать для них формулу[118].Но потом внезапно нас поразил настоящий закон, управ­ляющий ими:

V-E+F = 2.

Каппа (в сторону). «Настоящий закон»? Странное название для полнейшей ложности.

Бета. Все, что мы должны теперь сделать, это допол­нить нашу таблицу новыми данными для неэйлеровых многогранников и поискать новую формулу: при наличии терпеливого прилежного наблюдения и некоторого сча­стья мы попадем на правильную формулу; затем мы мо­жем снова ее улучшить, применяя метод доказательств и опровержений!

Дзета. Терпеливое, прилежное наблюдение? Пробо­вать одну формулу за другой? Может быть, вы придумаете гадательную машину, которая будет давать вам случайные формулы и пробовать их на вашей таблице? Неужели вы так думаете о прогрессе науки?

Бета. Не понимаю вашего гнева. Ведь вы, конечно, согласитесь, что начало нашего знания, наши наивные догадки могут прийти только после прилежного наблюде­ния и внезапного прозрения, как бы много ни взял на себя наш критический метод «доказательств и опровержений», после того как мы найдем наивную догадку? Любой дедуктивный метод должен начинаться с индуктивного основания!

Сигма. Ваш индуктивный метод никогда не принесет удачи. Мы пришли к F-E + F=2 только потому, что в нашей первоначальной таблице не было ни картинной рамы, ни морского ежа. Теперь же, когда этот историче­ский инцидент...

Каппа (в сторону) ... или благосклонное божествен­ное руководство...

Сигма... более уже не существует, вы никогда не смо­жете из хаоса «индуцировать» порядок. Мы начали с дол­гого наблюдения и со счастливым прозрением — и потер­пели поражение. Теперь вы предлагаете начать снова с еще более долгим наблюдением и с более счастливым про­зрением. Даже если бы мы пришли к какой-нибудь новой наивной догадке — в чем я сомневаюсь — мы кончили бы только такой же путаницей.

Бета. Может быть, вы хотите совсем отказаться от исследования? Нам нужно начать снова — прежде всего с некоторой новой наивной догадки, а затем снова пройти через метод доказательств и опровержений.

Дзета. Нет, Бета. Я согласен с Сигмой, поэтому и не начну опять с новой наивной догадки.

Бета. Тогда с чего же вы хотите начать, если не с индуктивного обобщения на низшем уровне в качестве наивной догадки? Или у вас есть какой-нибудь другой ме­тод для начала?

в) Дедуктивная догадка против наивной догадки

Дзета. Начинать? Зачем я должен начинать? Мой ум не пуст, когда я открываю (или изобретаю) задачу.

Учитель. Не дразните Бету. Вот задача: имеется ли соотношение между числами вершин, ре­бер и граней многогранника, аналогичное тривиальному соотношению между числами вершин и сторон многоугольника V=E ? [119] Как вы приметесь за эту задачу?

Дзета. Прежде всего я не имею стипендии от прави­тельства для производства подробной описи многогранни­ков, а также не обладаю армией ассистентов для подсчета их вершин, ребер и граней и составления таблиц по этим данным. Но если бы даже все это у меня было, я не имел бы терпения — или интереса — испытывать пригодность одной формулы за другой.

Бета. Что же тогда? Вы ляжете на диван, закроете глаза и забудете о данных?

Дзета. Так точно я и сделаю. Чтобы начать, мне нужна идея, а не какие-либо данные.

Бета. А откуда вы возьмете идею?

Дзета. Она уже имеется в нашем уме, когда мы фор­мулируем задачу; фактически она имеется уже в самой формулировке задачи.

Бета. Какая же идея?

Дзета. Та, что для многоугольника V=E.

Бета. Ну так что же?

Дзета. Задача никогда не приходит с неба. Она все­гда связана с нашим земным знанием. Мы знаем, что для многоугольников V = Е. Теперь многоугольник есть система многоугольников, состоящая из одного единственного многоугольника. Многогранник есть система многоуголь­ников, состоящих более чем из одного многоугольника. Но для многогранников V¹E. В каком пункте отношение V=E отказалось служить при переходе от монополиго­нальных систем к полиполигональным? Вместо того чтобы собирать данные, я прослежу, как эта задача возникла на основе нашего земного знания, или каковы были ожида­ния, опровержение которых представило эту задачу.

Рис. 17

Сигма. Правильно. Последуем вашим рекомендаци­ям. Для всякого многоугольника Е—V = 0 (рис. 17, а). Что случится, если я прикреплю к нему другой многоугольник (необязательно в той же плоскости)? Добавляемый мно­гоугольник имеет n1 сторон и n1 вершин; если мы прикре­пим его к первоначальному по цепочке из n1' ребер и n1'+1 вершин, то мы увеличим число ребер на n1— n1', а число вершин на n1— (n1' + 1); значит, в новой 2-полигональной системе получится избыток в числе ребер над числом вершин: Е — V = 1 (рис. 17,6); необычное, но совершенно допустимое прикрепление мы видим на рис. 17, в. «Прикреп­ление» новой грани к системе будет всегда увеличивать этот избыток на единицу; следовательно, для построенной таким образом F-полигональной системы будет всегда E—V=F—1.

Бета. Или V—E + F=1.

Ламбда. Но ведь это неверно для большей части полигональных систем. Возьмите куб...

Сигма. Но мое построение может привести только к «открытым» полигональным системам — ограниченным цепочкой ребер. Мой мысленный эксперимент я могу легко распространить на «закрытую» полигональную систему без такой границы. Это закрытие может быть произведено, если мы такую сосудообразную систему покроем много­угольником — крышкой; прикрепление такого покрываю­щего многоугольника увеличит F на единицу без измене­ния V или Е...

Дзета. Итак, для закрытой полигональной системы — и закрытого многогранника,— построенной таким обра­зом, V—E+F=2; догадка, которую мы теперь получили без «наблюдения» числа вершин, ребер и граней одного многогранника!

Ламбда. И теперь вы можете применить метод дока­зательств и опровержений без какой-нибудь «индуктив­ной отправной точки».

Дзета. С той разницей, что вам уже не надо будет выдумывать доказательство — оно уже получилось гото­вым. Вы можете продолжать непосредственно с опровер­жениями, анализом доказательства, образованием теоремы.

Ламбда. Тогда в вашем методе — вместо наблюде­ний— доказательство предшествует наивной догадке[120].

Дзета. Ну, я не назвал бы «наивным» предположение, которое выросло из доказательства. В моем методе нет места для индуктивных наивностей.

Бета. Есть возражение! Вы только отодвинули назад наивное индуктивное начало: вы же начали с «V=E для многоугольников». Разве вы не основываете это на наблю­дениях?