Доказательства и опровержения. Как доказываются теоремы (стр. 7 )

Очевидно, что такой «сферический» многогранник мож­но растянуть на плоскости, когда одна грань будет вынута; также очевидно, что и, наоборот, если многогранник без одной грани можно растянуть на плоскости, то вы можете согнуть его так, чтобы он мог обтянуть круглый сосуд, который затем можно закрыть недостающей гранью, и та­ким образом получить сферический многогранник. Но нашу картинную раму никак нельзя надуть так, чтобы она обратилась в шар; она может обратиться только в тор.

Учитель. Хорошо. Теперь вопреки Дельте я прини­маю эту картинную раму в качестве критики для догадки. Поэтому я устраняю как ложную первоначальную форму догадки, но сразу же выдвигаю видоизмененную ограничи­вающую версию, а именно догадка Декарта — Эйлера спра­ведлива для «простых» многогранников, т. е. для таких, которые после выемки одной грани могут быть растянуты на плоскости. Таким образом, из первоначальной гипоте­зы мы кое-что спасли. Мы имеем: эйлерова характе­ристика простого многогранника равна 2. Этот тезис не может быть опровергнут ни кубом в кубе, ни тетраэдрами-близнецами или звездчатыми многогран­никами, так как ни одно из этих тел не будет «простым». Таким образом, если метод устранения исключений уменьшал область применимости основной догадки и подо­зрительной леммы, сводя их к общей безопасной области, и поэтому принимал контрапример как критику и основной догадки и доказательства, то мой метод включения лемм сохраняет доказательство, но ограничивает область пра­вильности основной догадки, сводя ее к истинной области подозрительной леммы. Иначе, если контрапример, яв­ляющийся одновременно и глобальным и локальным, за­ставлял устрани теля исключений пере­смотреть как леммы, так и первоначаль­ную догадку, то меня он заставляет пе­ресмотреть первоначальную догадку, но не леммы. Вы понимаете?

Альфа. Думаю, что да. Для дока­зательства, что я понимаю, я опровергну вас[54]

Рис. 12

Учитель. Мой метод или мою ис­правленную догадку?

Альфа. Вашу исправленную догадку.

Учитель. Тогда может быть вы все же не понимаете моего метода. Но давайте ваш контрапример.

Альфа. Рассмотрим куб с маленьким кубом, постав­ленным сверху (рис. 12). Это согласно со всеми нашими определениями (определения 1, 2, 3, 4, 4'). Следователь­но, это будет настоящим многогранником. И он «простой», так как может быть растянут на плоскости. Таким образом, согласно вашей исправленной догадке, его эйлерова ха­рактеристика должна быть равна 2. Тем не менее он имеет 16 вершин, 24 ребра и 11 граней, и его эйлерова характеристика будет 16—24 + 11 = 3. Это будет глобаль­ным контрапримером для вашей исправленной догадки и также, между прочим, для первой теоремы Беты, «устра­няющей исключения». Этот многогранник не будет эйлеровым, хотя он не имеет ни полостей, ни туннелей, ни кратной структуры.

Дельта. Этот увенчанный куб назовем контрапримером 6 [55].

Учитель. Вы сделали ложной мою исправленную до­гадку, но не уничтожили моего метода улучшения. Я снова пересмотрю доказательство и постараюсь узнать, почему оно не подходит к вашему многограннику. В доказатель­стве должна быть еще одна неправильная лемма.

Бета. Ну, конечно, так и есть. Я всегда подозревал вторую лемму. Она предполагает, что в триангуляцион­ном процессе, проводя новое диагональное ребро, вы всегда увеличиваете на единицу числа и ребер и граней. Это неверно. Если мы посмотрим на плоскую сетку нашего увенчанного куба, то найдем кольцеобразную грань (рис. 13, а). В этом случае одно диагональное ребро не увеличит числа граней (рис. 13, б); нужно увеличить число ребер на два, чтобы число граней увеличилось на единицу (рис. 13, в).

Учитель. Примите мои поздравления. Я, конечно, должен еще больше ограничить нашу догадку...

Бета. Я знаю, что вы хотите сделать. Вы скажете, что простые многогранники с треугольными гранями будут эйлеровыми. Вы сохраните три­ангуляционный процесс и включите эту лемму в условия.

Учитель. Нет, вы ошибаетесь. Прежде чем конкрет­но указать вашу ошибку, мне хочется остановиться на ва­шем методе устранения исключений. Когда вы сводите вашу догадку к «безопасной» области, вы по-настоящему не рассматриваете доказательства и действительно для вашей цели это не нужно. Вам достаточно будет лишь сделать небрежное замечание, что в вашей ограниченной области будут справедливы все леммы, какими бы они ни были. Но для меня этого недостаточно. Ту самую лемму, которая была опровергнута контрапримером, я встраиваю в догадку, так что мне нужно отметить ее и сформулировать насколько возможно точно на основании тща­тельного анализа доказательства. Таким образом, опро­вергнутая лемма включается в исправленную догадку. Ваш метод не заставляет вас производить очень трудную раз­работку доказательства, так как в вашей исправ­ленной догадке доказательство не появляется, как в моей. Теперь я возвращаюсь к вашему теперешнему замечанию. Опровергнутая кольцеобразной гранью лемма не форму­лировалась, как вы, по-видимому, думаете, что «все гра­ни треугольны», но что «всякая грань, рассе­ченная диагональным ребром, распадается на две части». Вот эту-то лемму я и превращаю в усло­вие. Удовлетворяющие ему грани я называю «односвязными» и могу сделать второе улучшение моей первона­чальной догадки: «для простого многогранника, у которого все грани односвязны, V — Е + F = 2». Причина вашего быстрого неправильного утверждения заключалась в том, что ваш метод не при­учил вас к тщательному анализу доказательства. Этот анализ бывает иногда довольно тривиальным, но иногда действительно очень труден.

Рис. 13

Бета. Я понимаю вашу идею. Я тоже должен доба­вить самокритическое замечание к вашим словам, так как мне кажется, что они открывают целый континуум поло­жений для устранения исключений. В самом худшем слу­чае просто устраняются некоторые исключения и не обра­щается никакого внимания на доказательство. Мистификация получается, когда мы отдельно имеем доказательство и также отдельно исключения. В мозгу таких примитивных устранителей исключений доказательства и исключения помещаются в двух совершенно разделенных помещениях. Другие могут теперь указать, что доказательство будет действительным только в ограниченной области, в чем, по их мнению, и заключается раскрытие тайны. Но все же их «условия» для идеи доказательства будут посторонни­ми[56]. Лучшие устранители исключений бросают беглый взгляд на доказательство и, как я в настоящую минуту, получают некоторое вдохновение для формулировки усло­вий, определяющих безопасную область. Самые лучшие устранители исключений производят тщательный анализ доказательства и на этом основании дают очень тонкое ограничение запрещенной площади. В этом отношении наш метод действительно представляет предельный случай метода устранения исключений...

Йота ...и обнаруживает фундаментальное диалекти­ческое единство доказательств и опровержений.

Учитель. Я надеюсь, что теперь вы все видите, что доказательства, хотя иногда правильно и не доказыва­ют, но определенно помогают исправить (improve) нашу догадку[57]. Устранители исключений то­же исправляли ее, но исправление было независимым от доказательства (proving). Наш метод исправляет доказывая (improves by proving). Внутреннее единство между «логикой открытия» и «логикой оправда­ния» является самым важным аспектом ме­тода инкорпорации лемм.

Бета. И, конечно, теперь я понимаю ваши предыду­щие удивившие меня замечания, что вы не смущаетесь, если догадка будет одновременно и «доказана» и опроверг­нута, а также, что вы готовы доказать даже неправильную догадку.

Каппа (в сторону). Но зачем же называть «доказа­тельством» (proof) то, что фактически является «исправ­лением» (improof) ?

Учитель. Обратите внимание, что немногие люди захотят разделить эту готовность. Большая часть матема­тиков вследствие укоренившихся эвристических догм не­способны к одновременному доказательству и опроверже­нию догадки. Они будут или доказывать, или опровергать ее. В особенности они не способны опровержением исправ­лять догадки, если эти последние будут их собственными. Они хотят исправлять свои догадки без опровержений; о ни никогда не уменьшают неправильности, по непрерывно увеличи­вают истинность; таким образом рост знания они очищают от ужаса контрапримеров. Может быть, это и является основой подхода лучшего сорта устранителей исключений; они начинают со «стремле­ния к безопасности» и придумывают доказательство для «безопасной» области, а продолжают работу, подвергая это доказательство глубокому критическому исследованию, испытывая, использовали ли они все поставленные условия. Если этого нет, то они «заостряют» или «обобщают» пер­вую скромную версию их теоремы, т. е. выделяют леммы, от которых зависит доказательство, и инкорпорируют их. Например, после одного или двух контрапримеров они мо­гут сформулировать устраняющую исключения предварительную теорему: «Все выпуклые много­гранники являются эйлеровыми», откладывая невыпуклые объекты для cura posterior (дальнейшей работы - Лат.); затем они изобретают доказа­тельство Коши и тогда, открывши, что выпуклость не была реально «использована» в доказательстве, они строят тео­рему, включающую леммы[58]. Нет ничего эвристически нездорового в процедуре, которая соединяет предвари­тельное устранение исключений с последователь­ным анализом доказательства и включением лемм.

Бета. Конечно, эта процедура не уничтожает критику, она только отталкивает ее на задний план; вместо прямой критики чрезмерных утверждений критикуются недоста­точные утверждения.

Учитель. Я очень рад, Бета, что убедил вас. А как вы, Ро и Дельта, думаете насчет этого?

Ро. Что касается меня, то я совершенно определенно думаю, что проблема кольцеобразных граней является псе­вдопроблемой. Она происходит от чудовищного истолкова­ния того, что представляют грани и ребра этого соединения двух кубов в один, который вы назвали «увенчанным ку­бом».