Доказательства и опровержения. Как доказываются теоремы (стр. 20 )

Пи. Мы можем снова и снова пробовать, не содержит ли наша теория какой-нибудь скрытой способности роста. Иногда, однако, могут иметься хорошие причины бросить дело. Например, как правильно указал Тета, если наше де­дуктивное угадывание начинает с вершины, то мы, конеч­но, не можем ожидать, что оно когда-нибудь может объяс­нить нам лишенный вершин цилиндр.

Альфа. Значит, все-таки цилиндр был не монстром, а причудой!

Тета. Но с причудами нужно быть осторожным! Они являются действительными опровержениями: их нельзя подогнать под образец непрерывных «обобщений» и они могут действительно заставить нас революционизи­ровать нашу теоретическую систему[164]...

Омега. Хорошо! Для отдельной цели дедуктивного угадывания можно получить точку относитель­ного насыщения — но тогда кто-нибудь найдет рево­люционную, новую, более глубокую идею доказательства, которая имеет большую возможность объяснить. В итоге все-таки попадаешь на окончательное доказательст­во — без пределов, без точки насыщения, без причуд для его опровержения!

Пи. Что? Единая объединенная теория для объясне­ния всех явлений вселенной? Никогда! Рано или поздно мы всегда приблизимся к чему-то вроде абсолютной точки насыщения.

Гамма. Мне по настоящему безразлично, придем мы к этому или нет. Если контрапример может быть объяснен дешевым, тривиальным расширением доказательства, то я стал бы рассматривать его уже как «причуду». Повторяю: я действительно не вижу никакого особого смысла в таком обобщении «многогранника», чтобы оно включило многогранник с полостями: это не один много­гранник, но класс многогранников. Я также хотел бы за­быть о «многосвязных гранях» — почему бы не провести недостающие диагонали? Что касается обобщения, которое включит тетраэдры-близнецы, то я схватился бы за ору­жие: это годится лишь, чтобы изготовлять сложные пре­тенциозные формулы для ничего.

Ро. Наконец-то вы снова открыли мой метод исправ­ления монстров[165]! Он освобождает вас от узкого обобще­ния. Омега не должен был называть содержание «глуби­ной» — не всякое увеличение содержания будет увеличением глубины: подумайте о фор­мулах (6) и (7)[166] .

Альфа. Значит, в моем ряду вы остановились на (5)?

Гамма. Да;(6) и (7) не рост, а вырождение! Вместо того чтобы идти к (6) и (7), я лучше нашел бы и объяс­нил какой-нибудь возбуждающий новый контрапример[167].

Альфа. По-видимому, вы все-таки правы. Но кто же решит, где остановиться? Глубина — дело только вкуса.

Гамма. А почему бы не иметь математических кри­тиков наподобие литературных для развития математиче­ского вкуса общественной критикой? Мы даже могли бы задержать волну претенциозных тривиальностей в матема­тической литературе[168].

Сигма. Если мы остановимся на (5) и превратим тео­рию многогранников в теорию триангулированных сфер с ручками, то как вы сможете в случае надобности спра­виться с тривиальными аномалиями, вроде объясненных в (6) и (7)?

Мю. Детская игра!

Тета. Правильно. Тогда мы остановимся на минуту на (5). Но можем ли мы остановиться? Расширение понятий может опровергнуть (5)! Мы можем игно­рировать расширение понятия, если оно дает контрапри­мер, обнаруживающий бедность содержания нашей теоремы. Но если расширение дает контрапример, который ясно показывает ее ложность, то как тогда? Мы можем отка­заться от применения наших увеличивающих содержание Правила 4 или Правила 5 для объяснения причуды, но нам придется применить наше сохраняющее содержа­ние Правило 2 для устранения опровержения при по­мощи причуды.

Гамма. Вот это так! Мы можем отбросить «дешевые» обобщения, но вряд ли можем отбрасывать «дешевые» опровержения.

Сигма. Почему бы не построить устраняющее мон­стры определение «многогранника», добавив новое усло­вие для каждой причуды?

Тета. В обоих случаях снова вернется наш старый кошмар, порочная бесконечность.

Альфа. Пока вы увеличиваете содержание, вы разви­ваете идеи, делаете математику; после этого вы выясня­ете понятия, вы делаете лингвистику. Почему не остано­виться совсем, когда перестаешь увеличивать содержа­ние? Зачем попадаться в ловушку порочных бесконечно­стей?

Мю. Не надо опять сталкивать математику с лингви­стикой! Наука никогда не выигрывает от таких диспутов.

Гамма. Слово «никогда» скоро обратится в «скоро». Я целиком за возобновление нашей старой дискуссии.

Мю. Но мы уже кончили тупиком. Или кто-нибудь мо­жет сказать нам что-нибудь новое?

Каппа. Я думаю, что могу.

9. Как критика может математическую истину превратить в логическую

а) Бесконечное расширение понятий уничтожает смысл и истину

Каппа. Альфа уже сказал, что наш «старый» метод приводит к порочной бесконечности[169] . Гамма и Ламбда от­ветили надеждой, что поток опровержений может иссяк­нуть[170]; но теперь, когда мы понимаем механизм успеха опровержений — расширение понятий,— мы знаем, что их надежда была тщетной. Для всякого предложения все­гда найдется некоторое достаточно узкое толкование его терминов, которое окажется истинным, и некоторое доста­точно широкое, которое окажется ложным. Какое толкова­ние предполагается, и какое нет, зависит, конечно, от на­ших намерений. Первое толкование можно было бы наз­вать догматическим, подтвердительным ил и оправдательным толкованием, а второе скеп­тическим, критическим или опровергатель­ным. Альфа назвал первое конвенционалистской страта­гемой[171], но теперь мы видим, что второе будет таким же. Вы все осмеяли догматическое толкование Дельтой наив­ной догадки[172], а затем догматическое толкование Альфой теоремы[173] . Но расширение понятий опровергает всякое утверждение и вообще не оставит истинного утвержде­ния.

Гамма. Постойте. Правда, мы расширили понятие «многогранник», затем разорвали его и отбросили; как указал Пи, наивное понятие «многогранник» уже не фигу­рирует больше в теореме.

Каппа. Но тогда вы начнете расширять термин в тео­реме — теоретический термин, не правда ли? Вы сами ре­шили расширить «односвязную грань» так, чтобы включить круг в боковую поверхность цилиндра[174]. Вы подра­зумевали, что интеллектуальная честность требует подста­вить шею, добиться почетного статуса опровергаемости, т. е. сделать возможным толкование опровергателя. Но при наличии расширения понятий опровергаемость озна­чает опровержение. Таким образом, вы скользите по бесконечному склону, опровергая каждую теорему и заме­няя ее более «строгой» — такой, ложность которой еще не выявлена. Но вы никогда не выйдете из ложно­сти.

Сигма. А что, если мы остановимся на некотором пун­кте, примем оправдательные толкования и не будем тро­гаться дальше от истины или от той частной лингвистиче­ской формы, в которой была выражена истина?

Каппа. Тогда вам придется отражать контрапримеры, расширяющие понятия, вместе с устраняющими мон­стры определениями. Таким образом, вы будете скользить по другому бесконечному склону: вы будете принуждены принимать каждую «особую лингвистическую форму» ва­шей истинной теоремы, которая не будет достаточно то­чной, и вы будете принуждены включать в нее все более и более «строгие» определения, выраженные в терминах, неясность которых еще не разоблачена. Но вы никогда не выйдете из неясности.

Тета (в сторону). Что же плохо в эвристике, где неясность является ценой, которую мы платим за рост?

Альфа. Я сказал вам: точные понятия и непоколеби­мые истины живут только в мысли, но не в языке!

Гамма. Позвольте мне сделать вам вызов, Каппа. Возьмите теорему, как она стояла после того как мы учли цилиндр: «Для всех простых объектов с односвязными гранями, у которых ребра оканчиваются в вершинах, V—Е+F = 2». Как вы опровергнете это методом расши­рения понятий?

Каппа. Прежде всего я вернусь к определяющим тер­минам и произнесу предложение полностью. Затем я решу, какие понятия надо расширить. Например, «простой» сто­ит вместо «могущий быть растянутым в плоскости после отнятия одной грани». Я растяну термин «растягивание». Возьмите уже обсужденные тетраэдры-близнецы, имеющие общее ребро (рис. 6,а). Этот многогранник будет простым, его грани—односвязными, но V—Е+F = 3. Итак, наша теорема неверна.

Гамма. Но эти близнецы-тетраэдры не будут про­стым многогранником!

Каппа. Конечно, будут простым. Отнимая любую грань, я могу растянуть его на плоскости. Мне придется только быть осторожным, когда я подойду к критическому ребру, чтобы ничего не разорвать, открывая по этому ребру второй тетраэдр.

Рис. 24

Гамма. Но это же не растягивание! Вы режете — или расщепляете — ребро на два ребра. Вы, конечно, не можете поместить одну точку в двух точках: растя­гивание является дважды непрерывным од­нозначным отображением.

Каппа. Определение 9? Боюсь, что это узкое, догматическое толкование «растягивания» не удовлетво­рит моему здравому смыслу. Например, я вполне могу в во­ображении растянуть квадрат (рис. 24,а) в два вложен­ных друг в друга квадрата, если растяну его контурную линию (рис. 24,6). Назовете ли вы это растягивание раз­резом или расщеплением только потому, что оно не пред­ставляет «дважды непрерывного однозначного отображе­ния». Между прочим, я удивляюсь, почему вы не опреде­лили растягивание как преобразование, которое оставляет F, Е и F неизменными, и покончили бы с этим?

Гамма. Верно, вы опять выиграли. Я должен или со­гласиться с вашим опровергательным толкованием «растя­гивания» и расширить мое доказательство, или найти бо­лее глубокое, или включить лемму, или ввести определе­ние, устраняющее монстры. Однако в каждом из этих слу­чаев я всегда буду делать более и более ясными мои опре­деляющие термины. Почему я не должен прийти к такой точке, для которой значение терминов будет настолько кристально ясным, что может быть только одно-единствен­ное толкование, как в случае с 2 + 2=4? Здесь нет ничего эластичного в смысле этих терминов и ничего опровержи­мого в истине этого определения, которое вечно сияет в естественном свете разума.