Доказательства и опровержения. Как доказываются теоремы (стр. 18 )

Пи. Да, может. Устранители монстров только сохраня­ют первоначальное определение, тогда как расширители понятий увеличивают его; любопытная вещь заключается в том, что расширение понятий идет скрыто; никто этого не сознает и так как «координатная система» всякого челове­ка расширяется по мере того, как увеличивается объем по­нятий, то он становится жертвой эвристического обмана зрения, что устранение монстров сужает понятия, тогда как в действительности оно сохраняет их неизменными.

Дельта. Тогда кто же был интеллектуально нечест­ным? Кто сделал тайные изменения в своей позиции?

Гамма. Я допускаю, что мы были неправы, обвиняя Дельту за скрытые сжатия его понятия о многограннике; .все шесть его определений означали то же самое доброе старое понятие о многограннике, которое он унаследовал от своих предков. Он определял одно и то же бед­ное понятие в возрастающем богатстве тео­ретических форм выражения или языков; устранение монстров не образует поня­тий, но только переводит определения на другой язык. Устраняющая монстры теорема не пред­ставляет улучшения наивной догадки.

Дельта. Вы считаете, что все мои определения были логически эквивалентными?

Гамма. Это зависит от вашей логической теории — по моей они, конечно, не были такими.

Дельта. Вы должны сознаться, что такой ответ не очень помогает. Но скажите мне, опровергали ли вы наив­ную догадку? Вы опровергали ее, только извращая тайком ее первоначальное толкование!

Гамма. Ну, мы опровергли ее более интересным тол­кованием, заставляющим работать воображение, как вы и не грезили. Это-то и составляет разницу между опровер­жениями, которые только обнаруживают глупую ошибку, и опровержениями, явля­ющимися большими событиями в росте знания. Если вследствие неумения считать вы нашли бы, что «для всех многогранников V — E+F=1» и я ис­правил бы вас, то я не назвал бы это «опровержением».

Бета. Гамма прав. После откровения Пи мы могли бы колебаться называть наши контрапримеры логически­ми контрапримерами, так как они все же не явля­ются несовместными с догадкой в ее первоначально пред­полагавшемся толковании: однако они определенно будут эвристическими контрапримерами, так как побуждают рост знания. Если бы нам пришлось принять узкую логику Дельты, то знание не возрастало бы. Предпо­ложим, что кто-нибудь с узкой системой понятий познако­мится с данным Коши доказательством эйлеровой теоремы. Он найдет, что все этапы этого мысленного эксперимента легко могут быть выполнены на любом многограннике. Он примет как очевидный, не вызывающий сомнения «факт», что все многогранники являются простыми и что все грани односвязны. Ему никогда не придет в голову пре­вратить свои «очевидные» леммы в условия для некоторой исправленной догадки и таким образом построить теоре­му, — потому что отсутствует стимул контрапримеров, показывающих, что некоторые «тривиально истинные» леммы неверны. Таким образом, он будет думать, что «до­казательство» без всякого сомнения устанавливает истин­ность наивной догадки, что ее правильность вне всяких сомнений. Но его «уверенность» совсем не будет призна­ком успеха, она только симптом отсутствия воображения, концептуальной бедности. Она создает уютную удовлет­воренность и препятствует росту знания[150].

б) Рожденное доказательством понятие против наивного. Теоретическая классификация против наивной.

Пи. Давайте вернемся к рожденной доказательством теореме «Все простые многогранники с односвязными гранями будут эйлеровыми». Эта формулировка может ввести в заблуждение. Нужно так: «Все простые объек­ты с односвязными гранями будут эйлеровыми».

Гамма. Почему?

Пи. Первая формулировка заставляет думать, что класс простых многогранников, встречающихся в этой теореме, является подклассом класса «многогранников» наивной до­гадки.

Сигма. Конечно, класс простых многогранников бу­дет подклассом многогранников. Понятие «простого много­гранника» сужает первоначальный широкий класс мно­гогранников, ограничивая их теми, для которых выполня­ется первая лемма нашего доказательства. Понятие «про­стого многогранника с односвязными гранями» указывает на дальнейшее сужение первоначального класса...

Пи. Нет! Первоначальный класс многогранников содер­жал только те многогранники, которые были простыми и грани которых были односвязными. Омега ошибался, когда говорил, что включение лемм уменьшает содержание[151].

Омега. Но разве каждое включение лемм не исключа­ет контрапример?

Пи. Конечно, исключает; но контрапример был произ­веден расширением понятия.

Омега. Значит включение леммы сохраняет со­держание, как и устранение монстров?

Пи. Нет. Включение леммы увеличивает содер­жание; устранение же монстров нет.

Омега. Что? Вы действительно хотите убедить меня, что включение леммы не только не уменьшает содер­жания, но даже, что оно увеличивает его? Что вме­сто сужения понятий оно их расширяет?

Пи. Совершенно верно. Послушайте. Был ли элемен­том первоначального класса многогранников глобус, на котором нарисована политическая карта?

Омега. Конечно, нет.

Пи. Но он сделался им после доказательства Коши. Потому что вы без малейшего затруднения можете выпол­нить на нем доказательство Коши — если только на нем нет кольцеобразных стран или озер[152].

Гамма. Это верно! Если вы надуете многогранник в шар и измените ребра и грани, вы ничуть не помешаете выполнению доказательства — пока искажение не изменит числа вершин, ребер и граней.

Сигма. Я вижу, что вы хотите сказать. Тогда рож­денный доказательством «простой многогранник» будет не только сужением, спецификацией, но также и обобще­нием, распространением наивного «многогран­ника»[153]. Идея такого обобщения понятия многогран­ника, чтобы оно могло включить смятые, криволиней­ные «многогранники» с искривленными гранями, вряд ли могла прийти кому-нибудь в голову до доказатель­ства Коши; даже если бы это случилось, то идея была бы отброшена как причуда. Но теперь это является естествен­ным обобщением, так как операции нашего доказательства могут быть для них истолкованы так же хорошо, как и для обыкновенных простых многогранников с прямыми ребрами и плоскими гранями[154].

Пи. Хорошо. Но вам придется сделать еще один шаг. Рожденные доказательством понятия не представляют ни «спецификаций», ни «обобщений» наив­ных понятий: напор доказательств и опровержений на на­ивные понятия еще более революционен, чем это — они полностью уничтожают основные наивные понятия и заменяют их понятиями, рожденными доказательст­вом[155]. Наивный термин «многогранник», даже после его расширения опровергателями, обозначал нечто похожее на кристалл, тело с «плоскими» гранями и прямыми реб­рами. Идеи доказательства полностью проглотили и пере­варили это наивное понятие. В различных теоремах, рож­денных доказательством, от этого наивного понятия ниче­го не осталось. Оно бесследно исчезло. Вместо этого каж­дое доказательство выявляет его характерные, рожденные доказательством понятия, которые касаются возможностей быть растянутым, надутым, фотографированным, проек­тированным и тому подобное. Старая задача исчезла, поя­вились новые. После Колумба не следует удивляться, если человек не решает ту задачу, которую он поставил себе для решения.

Сигма. Таким образом «теория твердых тел», — пер­воначальное «наивное» царство эйлеровой догадки,— ис­чезает, новая переработанная догадка проявляется в про­ективной геометрии, когда ее доказал Жергонн, в анали­тической топологии, когда ее доказал Коши, в алгебраиче­ской топологии, когда ее доказал Пуанкаре...

Пи. Совершенно верно. И теперь вы поймете, почему я не формулирую теоремы, как Альфа или Бета: «Все жергонновы многогранники являются эйлеровыми», «Все многогранники Коши являются эйлеровыми» и так далее, но скорее так: «Все жергонновы объекты являются эйле­ровыми», «Все объекты Коши являются эйлеровыми» и так далее[156]. Таким образом, я не считаю воз­можным ссориться не только из-за точности наивных понятий, но также из-за истинно­сти или ложности наивных догадок.

Бета. Но, конечно, мы можем сохранить термин «многогранник» для нашего излюбленного, рожденного до­казательством термина, например, «объектов Коши»?

Пи. Если хотите, но помните, что ваш термин уже не обозначает более того, для обоз­начения чего он был выдуман, что наивное по­нимание исчезло и что теперь он употребляется...

Бета... для более общего, исправленного понятия!

Тета. Нет! Для совершенно отличного, нового поня­тия.

Сигма. Я думаю, что ваши взгляды парадоксальны!

Пи. Если под парадоксальным вы понимаете «мнение пока еще не общепризнанное»[157] , и возможно несовмести­мое с некоторыми из ваших укоренившихся наивных идей, то не беспокойтесь: вам только придется ваши наивные идеи заменить парадоксальными. Это может быть спосо­бом «решения» парадоксов. Но какое частное мое мнение вы имеете в виду?

Сигма. Вы помните, мы нашли, что некоторые звезд­чатые многогранники являются эйлеровыми, другие же нет. Мы искали доказательства, которое было бы доста­точно глубоким для объяснения эйлеровости как обыкно­венных, так и звездчатых многогранников...

Эпсилон. У меня оно есть[158].

Сигма. Я знаю. Но для целей аргументации предста­вим, что у нас такого доказательства не имеется, но что в добавление к доказательству Коши для «обыкновенных» эйлеровых многогранников кто-то предлагает соответст­венное, но совершенно различное, доказательство для эй­леровых звездчатых многогранников. Захотели бы вы тог­да, Пи, вследствие этих двух различных доказательств, предложить разбиение на два того, что мы ранее класси­фицировали как нечто единое? И захотели ли вы также объединить под одним именем две совершенно различные вещи только вследствие того, что кто-то нашел общее объ­яснение для некоторых из их свойств?