Математические модели в аэрогидромеханике (стр. 10 )

Подставив выражения (2.6) в уравнение (2.4), приходим к уравнению энергии для адиабатического процесса движения идеального сжимаемого газа при отсутствии массовых сил:

. (2.8)

Из уравнения (2.7) получим первое изоэнтропийное соотношение:

. (2.9)

Российский ученый использовал в своих вычислениях скоростной коэффициент , названный коэффициентом Чаплыгина: , где – критическая скорость потока, равная скорости звука, то есть . В этом случае число Маха M=1, и местная скорость звука становится равной критической. Такой режим течения газа, когда его скорость достигает скорости звука, называется критическим.

Определим в уравнении энергии (2.8) константу из условия критического режима движения газа, подставив в (2.8) вместо а и . Тогда получим:

.

Разделим обе части равенства на :

.

Умножим обе части равенства на . Тогда

.

Получим связь между скоростным коэффициентом и числом Маха М, легко разрешимую относительно и М.

Решим, например, это уравнение относительно :

; или

.

Тогда скоростной коэффициент Чаплыгина

. (2.10)

Обратное соотношение, т. е. выражение для числа Маха

. (2.11)

Если М=0, то и =0; если же , то .

Из соотношений для М и можно получить и другую связь между ними. Разделим обе части выражения (2.10) на , (2.11) – на М. Тогда получим:

и .

Поскольку эти выражения равны между собой, то очевидно, что

,

и окончательно получаем связь между М и в виде:

. (2.12)

Для получения второго изоэнтропийного соотношения используем уравнение энергии (2.8) в виде:

. (2.13)

Умножив обе части этого равенства на , получим:

. (2.14)

Здесь – скорость звука заторможенного потока (при ); а – местная скорость звука.

Формула (2.14) и является вторым изоэнтропийным соотношением.

Далее, учитывая первое изоэнтропийное соотношение (2.7) и уравнение адиабатического процесса в виде , получим:

. (2.15)

Это третье изоэнтропийное соотношение.

Учитывая первое изоэнтропийное соотношение (2.7) и уравнение адиабатического процесса в виде , получим:

. (2.16)

Это четвёртое изоэнтропийное соотношение.

Сравнивая (2.14) и (2.15), получим: , т. е. адиабату Пуассона.

Наконец, . (2.17)

Все полученные уравнения являются первой формой изоэнтропийных соотношений. Они выражают параметрическую связь между Т, Р, , при помощи параметра М.

Эта же первая форма изэнтропийных соотношений может быть получена в виде уравнений параметрической связи между Т, Р, и при помощи параметра , если учесть уравнение (2.12) в виде:

.

Тогда получим следующие соотношения:

;

;

;

;

.

Последнее соотношение использует выражение для , которое получается из уравнения энергии (2.13) для критического режима, когда . В этом случае получим: или . Тогда и .

Окончательно . (2.18)

Здесь и далее параметры с индексом * – это критические параметры.

Далее, вводя вместо местных значений параметров критические, получим следующие соотношения:

Так как - из первого и второго изоэнтропических соотношений, то

. (2.19)

Так как – из первого и третьего изоэнтропических соотношений, то . (2.20)

Так как – из первого и четвёртого изоэнтропических соотношений, то . (2.21)

Из (2.18) видно, что , т. к. k>1 и, следовательно, , т. е. критическая скорость меньше скорости звука в неподвижной среде.

Составив изоэнтропические соотношения для каких-нибудь двух точек одного и того же потока с числами и или и , или для точек двух потоков, но с одинаковыми параметрами заторможенного газа, и разделив соответствующие соотношения почленно друг на друга, получим следующие уравнения:

; (2.22)

; (2.23)

; (2.24)

; (2.25)