Математические модели в аэрогидромеханике (стр. 8 )

Подъемную силу крыла с достаточной степенью точности можно рассматривать как силу, происходящую от давлений, проложенных к поверхности крыла (составляющая подъёмной силы от касательных напряжений пренебрежительно мала). Как показывают опыты, типичная картина распределения давления имеет вид, представленный на рис. 10, а.

а

б в

Рис. 10

Видно, что на нижней дужке крылового профиля местное давление p2 больше атмосферного давления , на верхней дужке местное давление p1 меньше атмосферного , то есть наблюдается разрежение. Можно отметить также, что абсолютные величины подсасывания на верхней дужке крылового профиля значительно больше величины давлений на нижней дужке, следовательно, подъёмная сила профиля образуется главным образом за счет разрежения на верхней его дужке. О кинематической картине обтекания профиля можно судить по эпюре распределения давления. Применим уравнение Бернулли к двум струйкам; одной, идущей из бесконечности и обтекающей нижнюю дужку крылового профиля (рис. 10,б), и другой, идущей тоже из бесконечности и обтекающей верхнюю дужку. Тогда получим, что на нижней дужке, где давление р2 будет больше давления на бесконечности (атмосферного), скорость 2 меньше скорости потока на бесконечности ; а на верхней дужке, где , скорость 1 будет больше . Аналогичные заключения можно сделать и по поводу других струек, близких к рассмотренным. Таким образом, наличие крыла в поступательном потоке изменяет его поле скоростей, уменьшая скорости под крылом и увеличивая над ним. Чтобы выяснить, какой именно поток создается в жидкости вследствие наличия крыла, вычтем (геометрически) из поля скоростей потока, обтекающего крыло, поле скоростей поступательного потока . В результате вычитания получим поток, скорости которого в области под крылом направлены в сторону, противоположную (т. к. ), а в области над крылом – в ту же сторону, что (т. к. ). Так как влияние крыла – местное, то есть убывает по мере удаления от крыла и равно нулю на бесконечности, то линии тока этого потока не уходят в бесконечность. Такой поток с замкнутыми линиями тока вокруг крылового профиля (рис.10,в) называется циркуляционным потоком. В действительности этот поток (в силу вязкости) происходит от вращения частиц в непосредственной близости к крылу (в пограничном слое), и его можно рассматривать как результирующий поток множества плоских вихрей, расположенных по поверхности крыла. Очевидно, что работа вектора скорости по замкнутому контуру С определится как контурный интеграл:

,

где - элемент контура С, - проекция скорости на направление элемента . Определенная таким образом величина Г и есть циркуляция вектора скорости по замкнутому контуру.

Таким образом, поток у крыла можно представить себе как результат суммирования двух потоков: поступательного со скоростью и циркуляционного потока со скоростью .

На практике при вычислении циркуляции нет надобности всякий раз вычитать из потока , обтекающего крыло, поступательный поток (как это было сделано для разъяснения появления циркуляции вокруг крылового профиля), потому что поступательный поток сам по себе не изменяет величины циркуляции вектора скорости, для него Г=0 по любому контуру. Поэтому берут в потоке, обтекающем крыло, произвольный замкнутый контур С, охватывающей профиль и вычисляют циркуляцию вектора скорости по этому контуру:

.

Величина циркуляции будет такая же, как и при вычитании поступательного потока. При вычислении контурного интеграла за положительное направление обхода контура обычно принимают такое направление, чтобы при обходе по контуру ограничиваемая им область все время оставалась по левую сторону. Обычные представления положительного направления вращения (например, против хода часовой стрелки) здесь непригодны, т. к. для контуров сложной формы они давали бы противоречивые указания.

Перейдем к математической постановке задачи обтекания крылового профиля плоским, однородным на бесконечности, безвихревым потоком идеальной несжимаемой жидкости.

а б

Рис. 11

Набегающий поток зададим комплексным вектором скорости , образующим в общем случае с осью Ох угол . Физическая плоскость z имеет заштрихованный вырез (рис. 11,а), что делает ее двухсвязной, для определенности задачи необходимо задать наперед циркуляцию вектора скорости Г по произвольному, охватывающему профиль, контуру С1.

Пусть функция комплексного переменного представляет собой преобразующую (или отображающую) функцию, осуществляющую конформное отображение внешней по отношению к ограниченной контуром С (заштрихованной) области плоскости комплексного переменного на внешнюю по отношению к заштрихованному кругу С* с радиусом а и центром в начале координат системы часть вспомогательной плоскости комплексного переменного . Наложим на отображенную функцию дополнительные условия:

а) чтобы бесконечно удаленная точка переходила при отображении в бесконечно удаленную точку ;

б) чтобы направление скорости на бесконечности при переходе из плоскости z в плоскость сохранялось. Тогда, как доказывается в теории функций комплексного переменного (теорема Римана), при выполнении этих условий преобразование является единственным.

Пусть – искомый комплексный потенциал течения в физической плоскости, а – комплексный потенциал течения во вспомогательной плоскости, а именно комплексный потенциал циркуляционного обтекания кругового цилиндра (он считается заданным). Тогда

где и – соответственно скорость на бесконечности и циркуляция вектора скорости по произвольному контуру , охватывающему во вспомогательной плоскости . Если известна функция, отображающая внешнюю область кругового цилиндра в плоскости на внешнюю область профиля в плоскости z, то есть дана зависимость: , то можно записать: