Математические модели в аэрогидромеханике (стр. 9 )

.

Взяв производную по от обеих частей этого равенства, получим:

.

Поскольку , а , то , и в бесконечно удаленных точках: , где .

По принятому ранее условию направление вектора скорости на бесконечности при конформном отображении сохраняется, т. е. векторы и параллельны друг другу. Отсюда следует параллельность и сопряженных векторов и , а поскольку - действительная величина (будем считать ее для определенности положительной), то .

Рассмотрим теперь циркуляцию Г*. Учитывая, что , представим Г* как действительную часть интеграла:

.

Видно, что циркуляция вектора скорости по любому замкнутому контуру, охватывающему обтекаемый профиль, при конформном отображении сохраняет свое значение.

Приведенные рассуждения позволили выразить неизвестные величины и Г* через заданные величины , Г и коэффициент . Следовательно, будем иметь окончательное выражение комплексного потенциала W в плоскости течения в виде параметрической зависимости от параметра :

,

где ; ; Г*=Г.

Таким образом, если известно решение геометрической задачи о конформном отображении внешней по отношению к обтекаемому контуру C области физической плоскости z на внешнюю по отношению к кругу C* произвольного радиуса a область вспомогательной плоскости , то решение гидродинамической задачи об определении комплексного потенциала W(z) уже не составит труда.

2.  МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В ГАЗОВОЙ ДИНАМИКЕ

В этом разделе рассмотрим вначале основы математического моделирования одномерных движений идеального газа. С этой целью выведем изоэнтропийные соотношения для идеального газа, которые применим при создании математической модели течения газа по соплу Лаваля. Затем рассмотрим математическое моделирование плоских безвихревых движений идеального сжимаемого газа, на основе которого разработаем математические модели дозвукового и сверхзвукового обтеканий тонких профилей потоком идеального сжимаемого газа.

Если вдоль линии тока или траектории движения (при стационарных процессах) энтропия S сохраняет свою величину, то такое движение называется изоэнтропийным. Адиабатический обратимый процесс, у которого или , является изоэнтропийным процессом. Введем понятие скорости звука a при изоэнтропийном движении идеального сжимаемого газа. Из вывода волнового уравнения в курсе математической физики местная скорость звука . Используем уравнение адиабатического процесса (адиабата Пуассона)

, (2.1)

где k – показатель адиабаты. Найдем ; , откуда . Взяв константу из (2.1) и подставив в последнее уравнение, получим . Если использовать уравнение Клапейрона (R – универсальная газовая постоянная), то . С учетом этих соотношений

. (2.2)

Впервые эта формула была получена Лапласом и носит название лапласовой скорости звука , в отличие от ньютоновой скорости звука , выведенной Ньютоном из условия изотермического распространения звука. В самом деле, при изотермическом процессе при Т=const из уравнения Клапейрона следует: , тогда , откуда и, следовательно, .

Спор при жизни этих великих ученых так и не был разрешён, и лишь в дальнейшем проведенные точные эксперименты по измерению скорости распространения звука в различных телах подтвердили правильность формулы Лапласа, а, следовательно, и его утверждения, что процесс распространения звука в средах является адиабатическим, и для него .

2.1.  Изоэнтропийные соотношения для идеального газа

Интеграл Бернулли уравнения энергии для единицы массы газа:

, (2.3)

где h – энтальпия (или полное теплосодержание), П – потенциал массовых сил.

При пренебрежении массовыми силами (П=0) получим: . Записав выражение для нулевых условий, получим

.

Здесь индекс «0» соответствует скорости потока =0, т. е. скорости заторможенного потока.

Тогда . (2.4)

В этом случае уравнение (2.4) определяет энтальпию адиабатически заторможенного потока. Далее все параметры без индекса будем называть статическими параметрами, а параметры с индексом «0» - параметрами торможения или заторможенными параметрами.

Поскольку , , где - теплоёмкость при постоянном давлении, которую будем считать постоянной при движении газа, то с учётом (2.4):

.

Из этого соотношения можно найти температуру адиабатически заторможенного потока или температуру торможения:

. (2.5)

Преобразуем выражение следующим образом: . Используя далее соотношение Майера и выражение для отношения теплоёмкостей (– теплоёмкость при постоянном объёме), получим: .

Таким образом:

(2.6)

Подставляя выражение для СрТ в уравнение (2.5), получим:

Используя формулу для числа Маха , получим

. (2.7)