Математические модели в аэрогидромеханике (стр. 20 )

3.6. Математическая модель косого скачка уплотнения

Элементарную теорию косого скачка уплотнения можно рассматривать на примере течения газового потока внутри тупого угла. При течении внутри тупого угла сверхзвукового потока газа со скоростью u1 создается косой скачок уплотнения, который образует с горизонталь­ной осью угол b (рис. 24). Надо отме­тить, что если при прямом скач­ке уплотнения согласно теореме Прандтля сверхзвуковое течение после скачка уплотнения непре­менно становится дозвуковым, то при прохождении потока через косой скачок уплотнения сверх­звуковая скорость может сохра­ниться и за скачком уплотнения.

Рис. 24

Разложим вектор скорости на две составляющие: нормальную u1n (перпендикулярную линии скачка уплотнения) и касательную u1t (параллельную ли­нии скачка уплотнения). При прохождении потока через косой скачок уплотнения вектор скорости потока имеет направление, параллель­ное ограничивающей поверхности. Разложим вектор скорости также на две составляющие: u2n и u2t (см. рис. 24).

При исследовании косого скачка уплотнения будем использовать сле­дующие интегральные соотношения:

1) уравнение неразрывности (закон сохранения массы), записанное для нормальных составляющих скоростей, полученных при косом скачке уплотнения:

; (3.43)

2) закон сохранения полного импульса в проекции на линию разры­ва (импульса, связанного с касательной скоростью, которая направлена по косому скачку уплотнения):

. (3.44)

То же в проекции на нормаль к линии разрыва (или теорема об изменении импульсов для нормальных составляющих скоростей):

; (3.45)

3) уравнение энергии (закон сохранения полной энтальпии):

. (3.46)

Из уравнения (3.43) с учетом (3.44) следует, что

. (3.47)

Это равенство указывает на то, что касательные составляющие скоростей до и после косого скачка уплотнения одинаковы. Иными словами, косой скачок уплотнения не вызывает изменения характера течения касательных скоростей до и после скачка уплотнения.

Тогда система уравнений (интегральных соотношений) будет иметь вид:

Видно, что полученная система уравнений для косого скачка уплотнения отличается от системы уравнений, характеризующих прямой скачок уплот­нения. Система уравнений для косого скачка уплотнения получается из системы уравнений для прямого скачка уплотнения заменой векторов ско­ростей и на их нормальные составляющие u1n и u2n. Следовательно, все, что было сказано относительно прямого скачка уп­лотнения, сохраняет свой смысл и для косого скачка уплотнения, если во всех соотношениях, полученных для прямого скачка уплотнения, заме­нить векторы скоростей и на их нормальные составляющие.

Тогда уравнение Прандтля для косого скачка уплотнения будет выглядеть следующим образом:

, (3.48)

где

. (3.49)

Это значение для получается из рассмотрения уравнения интегра­ла энергии в следующем виде:

.

Для нашего случая:

. (3.50)

Отсюда следует:

. (3.51)

При наличии косого скачка уплотнения критическая скорость оказывается несколько меньшей, чем при прямом скачке уплотнения ().

Теорему Прандтля можно также записать в виде:

, (3.52)

где , . (3.53)

Относительное изменение характерных параметров при косом скачке уплотнения можно получить из аналогичных соотношений для прямого скачка уплотнения, если вместо векторов скоростей и в выражениях для М и l поставить их нормальные компоненты:

1) Например , (3.54)

где . Из треугольника скоростей u1n=u1sinb, тогда , и окончательно:

. (3.55)

Это же выражение через l1 выглядит следующим образом:

. (3.56)

Из треугольника скоростей: u1t=u1cos b, тогда с учетом (3.49):

Из уравнения (3.53):

. (3.57)

Следовательно, с учетом формул (3.56) и (3.57) имеем:

=

.

Окончательно имеем:

. (3.58)

2)  Аналогично:

(3.59)

или

. (3.60)

3) 

. (3.61)

И, наконец, останутся теми же самыми, что и для прямого скачка уплотнения, выражения: h1,0= h2,0=h0; T1,0= T2,0=T0; a1,0= a2,0=a0, T1*= T2*=T* и a1*= a2*=a*.

Останется той же и ударная адиабата Гюгонио.

3.7  . Ударная поляра

Из треугольников скоростей перед и за косым скачком уплотнения (рис. 24) следует:

; ,

где q - половинный угол клина, он же – угол отклонения потока за скачком; b - угол, образованный линией косого скачка уплотнения с направлением набегающего потока (вектора скорости )

u1t = u2t = u1cosb = u2cos(b-q) = u1.

Для проекций скоростей на оси прямоугольной декартовой системы координат имеем:

u1x = u1, u1y =0; u2x = u2cos(b-q), u2y = u2sin(b-q).

Еще: u1n = u1x sin b; u2n = u2x sin b - u2ycos b;

u1t = u2t = ut = u1xcosb = u2xcos b +u2ysin b =u1cos b.

Из последнего соотношения находим:

u2ysin b =(u1-u2x)cos b Þ

а) ;

б) .

С учетом предыдущих соотношений: .

Эти соотношения позволяют найти выражение касательных и нормальных компонент векторов скоростей и через их декартовые проекции:

;

;

.

Используем формулу Прандтля для косого скачка уплотнения в виде:

.

Подставим туда выражения для u1n и u2n через декартовы проекции векторов скоростей и после преобразований получим:

. (3.62)

Деля обе части этого равенства на а*2 или на , перепишем его в следующих видах:

, (3.63)