Математические модели в аэрогидромеханике (стр. 5 )

; .

Тогда с учетом (1.18) и, следовательно:

а) ;

б) , т. к. с учетом (1.18): .

Интеграл от функции (как полного дифференциала) является криволинейным интегралом 2 рода. Берется он следующим образом: сначала интегрируем по r : , затем полученное выражение дифференцируем по q:

.

Результат сравниваем с производной , записанной ранее: получаем ,тогда С(q)=const, и, следовательно, .

Итак, опуская константу, что не меняет физической картины течения, получаем

. (1.19)

Характеристическая функция W(z) будет равна:

W(z) = j(r, q) + i y(r, q) = u¥ [r(cos q + i sin q) + (cos q - i sin q)],

. (1.20)

Здесь r(cos q + i sin q)=; .

Поставленная здесь задача решена до конца.

Рассмотрим кинематические характеристики обтекания. Найдем скорость потока на поверхности обтекаемого тела:

, т. к. ,

при r=a: ,

à при r=a: ur=0,

; при r=a à u = 2u¥ sin q или . (1.21)

Коэффициент давления можно найти с помощью уравнения Бернулли: , из которого . Тогда

,

или, учитывая полученный выше результат (1.21), на поверхности обтекаемого цилиндра получим

. (1.22)

Выясним физическое содержание полученных соотношений. В точках А и В (рис. 5) значение скорости u будет равно нулю, т. к. в этих точках q=0, и , тогда Ср=1. Эти точки в аэродинамике называют критическими: точка А – передняя критическая точка или лобовая точка, точка В – задняя критическая точка или кормовая точка.

Рис. 5

В точках С и D (q=±900): ,

Ср=-3. Эти точки также являются характерными точками при обтекании контура. Они называются миделевыми точками, в них будет удвоенная скорость u¥, т. е. u=2u¥.

На контуре САD в передней точке разветвления (точка А) коэффициент давления имеет максимальное значение, затем при движении к точкам С и D происходит разгон жидкости от нуля до 2u¥. Это конфузорная часть контура. На участке СВD происходит падение скорости и рост давления – это диффузорная часть контура. Необходимо обратить внимание на симметричную картину обтекания кругового цилиндра как относительно оси ОХ, так и оси OY.

Вычислим главную аэродинамическую реакцию (равнодействующую сил давлений жидкости на цилиндр) и главный аэродинамический момент при помощи интегральных соотношений, предложенных Чаплыгиным и независимо от него Блазиусом.

При введении характеристической функции W рассматривается зеркальное отображение, следовательно, и при вычислении реакции и момента с использованием W рассматривают зеркальную задачу. Главный вектор сил гидродинамических давлений жидкости на цилиндр равен в общем случае . Кроме того, . Его зеркальное отображение

. (1.23)

Рис. 6

Здесь q – угол между осью Х и касательной к поверхности цилиндра в точке М (см. рис. 6);

nx=cos(n^x); ny=cos(n^y);

(n^x)=q-900; (n^y)=1800-q;

dz=dx+idy=dl(cos(q)+i×sin(q)) = eiqdl;

=dx-idy= dl(cos(q)–i×sin(q)) =e-iqdl;

= e-2iqdz.

Обратимся к интегралу Бернулли: , откуда . Здесь u – величина скорости, которая в теории комплексного переменного обозначается как модуль комплексного числа: . Подставим p и в формулу (1.23) и получим:

.

Здесь , поскольку является полным дифференциалом, а интеграл по замкнутому контуру от полного дифференциала равен нулю. Тогда получим:

,

так как .

Поскольку , то . (1.24)

Это первое интегральное выражение Чаплыгина-Блазиуса. Следовательно, если известна характеристическая функция W, то можно найти главный аэродинамический вектор , возникающий при обтекании контура.

Главный момент L сил гидродинамических давлений жидкости на цилиндр определяется относительно оси, расположенной перпендикулярно плоскости течения и проходящей через начало координат.

,

так как dx = lcos(q); dy = lsin(q).

Поскольку = (x+iy)(dx-idy) = (xdx+ydy)+ i(ydx-xdy), то отсюда (xdx+ydy)=Re() и тогда .

Из уравнения Бернулли: . Следовательно, , поскольку второй интеграл от полного дифференциала равен нулю.

Так как ; , то

и окончательно

. (1.25)

Это второе интегральное выражение Чаплыгина-Блазиуса.

Следовательно, зная W(z), можно найти и динамический момент L сил давления потока на профиль С – в нашем случае на круговой цилиндр. Итак, поскольку характеристическая функция для кругового профиля имеет вид: