Математические модели в аэрогидромеханике (стр. 19 )

Константу найдем из условия a=a* при u=a* для критического течения,

тогда .

Подставляя в уравнение энергии, получим

.

Отсюда энтальпия потока перед скачком уплотнения равна

, т. к. .

За скачком уплотнения имеем:

. (3.23)

Выразив из уравнений (3.22) и (3.23) отношения p1/r1 и p2/r2 и подставив их в уравнение количеств движения , получим после преобразований:

. (3.24)

Продемонстрируем этот вывод:

;.

Подставив в уравнение количеств движения, получим:

.

Перенесем все члены в правую часть уравнения и сгруппируем:

,

тогда ,

и окончательно .

Так как u1>u2, т. е. скорость перед скачком намного больше скорости после скачка, то >0 и приходим к следующему уравнению:

или u1u2 = a*2. (3.25)

Это и есть уравнение Прандтля. Оно указывает на то, что если до скачка u1>a*, то после скачка u2<a* (меньше критической скорости).

При прямом скачке уплотнения обязателен переход от сверхзвукового течения к дозвуковому, что сопровождается максимальным ростом энтропии.

При косом скачке уплотнения сверхзвуковое обтекание может остаться тоже сверхзвуковым, но меньшей интенсивности.

Уравнение Прандтля при помощи скоростного коэффициента Чаплыгина можно записать следующим образом:

l1l2=1, где ; , (3.26)

а так как , то уравнение Прандтля можно получить и в следующем виде:

. (3.27)

Отсюда . (3.28)

На этом соотношении можно построить аналог сверхзвуковой трубы. Если скорость набегающего потока на тело M1®¥, то

.

Следовательно, если создать аэрогазодинамическую трубу со скоростью M=0.4»120 м/с, то смоделируем сверхзвуковую трубу для исследования течения газа за прямым скачком уплотнения.

Теперь ответим на вопрос: какие параметры потока остаются постоянными при прохождении через прямой скачок уплотнения?

Из уравнения энергии:

, ,

где CpT1 – энтальпия набегающего потока; CpT2 - энтальпия после скачка уплотнения; h1,0 и h2,0 – полная энтальпия. Согласно закону сохранения энергии h1,0 = h2,0 = h0 или T1,0 = T2,0 = T0 (если Cp = const). Тогда а1,0=а2,0=а0; , и, следовательно, .

Итак, при прохождении через прямой скачок уплотнения энтальпия и температура адиабатически заторможенного потока сохраняют постоянную величину. Также сохраняют постоянную величину скорости звука, критические скорости до и после прямого скачка уплотнения. Кроме того, согласно формуле Клапейрона:

или .

3.5. Изменение характерных параметров газа

при прямом скачке уплотнения

За относительное изменение параметров при прямом скачке уплотнения принимается:

; ; .

Все эти величины легко находятся при использовании полученных интегралов для нашей задачи.

1.  Действительно, из закона сохранения полного импульса:

.

Из уравнения сохранения масс: , тогда и, следовательно, . (3.29)

Так как из формулы Прандтля u1u2=a*2, то .

Поскольку , то , и тогда

. (3.30)

Применяя формулы перехода от l1 к М1 и наоборот, т. е.

, ,

получим искомые соотношения:

а) ;

б) ; (3.31)

в) ; г) .

2. 

Применяя к этому уравнению уравнение неразрывности , получим: .

Тогда ; или (3.32)

3.  .

Из закона сохранения полной энтальпии получим:

и h1=CpT1.

Тогда . (3.33)

Умножим и разделим член перед скобкой уравнения (3.33) на kR, а член на u12; .

Тогда

, (3.34)

т. к. .

Если взять , то можно после преобразований написать это выражение через М1:

. (3.35)

Если взять выражение , то

. (3.36)

И наконец , т. е. температура T2 за скачком уплотнения всегда больше температуры Т1 до прямого скачка уплотнения (за счет необратимого превращения механической энергии в тепловую).

Тогда (3.37)

или . (3.38)

Как известно, при наличии необратимых потерь в адиабатической системе возрастает ее энтропия. Для определения этого возрастания воспользуемся следующей формулой:

. (3.39)

Применим это равенство к параметрам адиабатически и изоэнтропически заторможенного газа, что допустимо, т. к. изэнтропическое торможение не влияет на приращение энтропии.

Тогда получим

(3.40)

Но из формулы Клапейрона следует: r1,0/r2,0 = p1,0/p2,0 , (3.41)

тогда . (3.42)

Эта формула выражает асимптотический закон роста энтропии при прохождении газа через скачки большой интенсивности. При сравнительно малой интенсивности скачков уплотнения, т. е. при М, близком к 1, будет наблюдаться слабое изменение энтропии, т. е. около-звуковые явления можно с достаточной степенью приближения рассматривать как изоэнтропические.