1. Если матрица 
имеет размер 
, а матрица 
, то произведение 
существует и имеет размер .
Вывод. Размер матрицы 
указан неверно.
Ответ: Нет.
2. Если матрица 
имеет размер 
, а матрица , то произведение 
существует и имеет размер .
Вывод. Размер матрицы указан верно.
Ответ: Да.
3. Ответ: Да
4. Ответ: Нет
Задание IV. Выяснить, образуют ли векторы 
базис пространства 
, если:
1. 
2. 
3. 
4. 
Решение. Известно, что любые три линейно независимых вектора из пространства образуют базис этого пространства. Для решения задачи достаточно проверить являются ли векторы 
и 
линейно независимыми.
Следовательно, векторы и будут образовывать базис пространства , если матрица 
размера составленная из векторов и , как строк или столбцов, имеет ранг равный 
.
Составим матрицу , располагая векторы и по строкам,
Далее, используя элементарные преобразования, преобразуем эту матрицу к треугольному виду. Получаем
.
1. первую строчку умножаем на 
и прибавляем ко второй и третьей строке
2. первую и вторую строчку меняем местами
3. первую строку умножаем на 
и прибавляем ко второй строке
4. вторую строку умножаем на 
и прибавляем к третьей строке
Поэтому 
.
Вывод. Векторы и образуют базис .
Ответ: Да.
2. Составим матрицу , располагая векторы и по строкам,
Далее, используя метод Гаусса, преобразуем эту матрицу к трапециевидному (треугольному) виду. Получаем
.
Поэтому 
.
Вывод. Векторы и не образуют базис .
Ответ: Нет.
3. Ответ: Да.
4. Ответ: Нет.
Задание V. Указать, имеет ли система уравнений решение:
1. 
2. 
3. 
4. 
Решение. Согласно теореме Кронекера – Капели система линейных уравнений 
совместна (то есть имеет единственное решение или бесконечно много решений), если ранг расширенной матрицы системы 
равен рангу матрицы коэффициентов .
1. Составим расширенную матрицу системы и преобразуем её методом Гаусса к квазитреугольному виду:
.
Ранг матрицы коэффициентов равен 
, а ранг расширенной матрицы равен 2.
Вывод. Так как 
, то система не имеет решений.
Ответ: Нет.
2. Составим расширенную матрицу системы и преобразуем её методом Гаусса к трапециевидному виду:
.
Ранг матрицы коэффициентов равен , и ранг расширенной матрицы равен 2.
Вывод. Так как 
, то система имеет решения.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 |
