Методические указания для подготовки к экзамену по математике для студентов заочного отделения (стр. 5 )

Теперь, зная координаты вектора и координаты точки можно найти координаты точки , прибавив к координатам точки соответствующие координаты вектора . Получаем

Поэтому

Ответ: 19.

Задание 2. Найти длину средней линии трапеции , если известны координаты её вершин:

Решение. Найдем вначале длины оснований трапеции .

.

Длина средней линии равна полусумме длин оснований. Поэтому получаем

.

Ответ: 6.

Задание 3. Найти матрицу, обратную матрице

и записать в ответ сумму всех её элементов.

Решение. Для нахождения воспользуемся формулой

где союзная матрица

.

Найдя матрицу обратную к матрице целесообразно сделать проверку, используя определение обратной матрицы:

Сумма всех элементов обратной матрицы будет

.

Ответ: -3.

Задание 4. Решить систему:

и записать в ответ сумму

Решение. Для решения системы линейных алгебраических уравнений составим расширенную матрицу и приведем её к квазитреугольному виду с помощью метода Гаусса.

Из преобразованной системы найдем решение исходной системы.

Третье уравнение это тождество .

Второе уравнение будет

Первое уравнение будет

Правильность полученного решения можно проверить подстановкой его в исходное уравнение.

Окончательно имеем

Ответ: 1.5.

Задание 5. Найти значение при котором векторы линейно зависимы:

Решение. Составим определитель из координат заданных векторов, считая каждый вектор строкой определителя. Для того чтобы векторы и были линейно зависимы необходимо и достаточно, чтобы определитель, составленный из соответствующих координат этих векторов был равен нулю.

Получаем

.

Ответ: -5.

Раздел второй

В этом разделе содержатся примерные тестовые задания, предлагаемые на экзамене по математике студентам первого курса заочного отделения. В конце теста приведены ответы на эти задания.

Часть I.

I.  Выяснить, делит ли точка отрезок пополам, если:

1.	2.
3.	4.

II.  Указать, принадлежит ли точка прямой, если уравнение этой прямой имеет вид:

5.	6.
7.	8.

III. Даны матрицы и размера и соответственно. Ответить, верно ли указан размер матрицы после умножения:

9.	10.
11.	12.

IV.  Указать, имеет ли система уравнений решение, если:

13.	14.
15.	16.

V.  Даны точки , , . Верно ли, что скалярное произведение век­то­ров равно:

17.	18.
19.	20.

VI.  Выяснить, образуют ли векторы базис пространства , если: