Лекция №1 (стр. 2 )

При измерении массы тела уравнение измерения является линейным относительно х и имеет вид:

- Условное уравнение измерения

Несмещённость оценки значит, что математическое ожидание оценки равно истинному значению ξ:

Эффективность оценки означает, что дисперсия оценки минимальна по величине для рассматриваемого класса оценок.

Используя условие несмещенности оценки, получим:

т. к.

Требование несмещонности означает, что:

- условие несещенности оценки.

Потребуем минимальности дисперсии такой оценки:

Найдем относительный минимум методом Лежандра, т. е. составив его функцию:

Возвращаясь к начальному уравнению измерения, получим:

СКО

Заметим, что называется СКО.

Лекция №2

Часть этих факторов проявляются нерегулярно, стихийно и с инертностью, которую трудно предсказать. Они формируют случайную составляющую суммарной погрешности , и эта случайная составляющая изменяется случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины.

Другая группа факторов, которая закономерно изменяется в процессе измерения формирует систематическую составляющую суммарной погрешности.

При этом ее отличительная особенность в том, что она остается постоянной или изменяется по определенному закону при повторных измерениях одной и той же величины, т. е.

.

Изложенное позволяет нам сформулировать основную задачу обработки результатов совместных измерений.

Дан набор совместных результатов измерений в виде N пар экспериментальных данных

{(), (), (),…, ()}.

Основная задача их обработки заключается в определении (восстановлении) некоторой функциональной зависимости

,

Описывающей действительную связь между переменными и , такими, что их математические ожидания совпадают с неизвестными нам истинными значениями, т. е.

, .

Наша задача заключается в отыскании такого алгоритма обработки, который?????? на наилучшие в определенном смысле значения оценок для неизвестных параметров . При этом могут быть справедливы такие постулаты:

.

При изложении нашего материала мы везде полагаем, что отсутствует систематическая составляющая суммарной погрешности, т. е. .

Заметим, что поскольку каждый математический алгоритм обработки основан на справедливости математических постулатов, то точность обработки по этому алгоритму в сильнейшей степени зависит от степени нарушения того или иного постулата или группы постулатов, поэтому каждый раз при использовании того или иного алгоритма должны проверяться постулаты его применимости в плане их ненарушимости.

Математический аппарат, применяемый при обработке результатов измерений.

При разработке или использовании алгоритмов обработки экспериментальных данных чаще всего используется аппарат математической статистики и теории вероятности. Качество получаемых результатов измерений определяется двумя факторами:

1) высокой точностью полученных экспериментальных данных, что гарантируется использованием прецизионной высокоточной аппаратуры;

2) качеством, высокой оптимальностью для данных условий измерения применяемого алгоритма обработки.

Мы уже установили, что измерение несет в себе элемент случайности. Полезно рассмотреть вывод, состоящий из конечного числа значений измеряемой величины и соответствующую генеральную совокупность – полный набор всех возможных значений, которые может принимать случайная величина.

Генеральная совокупность может быть описана с помощью законов распределения вероятности.

Если распределение случайной величины дискретно, т. е. дискретна сама случайная величина, и ее частные значения могут быть пронумерованы, то полагают, что вероятность получить в отдельном испытании результат измерения величины , равный , равна , т. е.

.

В случае непрерывной случайной величины, когда значение любой случайной величины сплошь заполняет область ее определения, используется вероятность , представляющая собой вероятность результата , заключенного между и . При этом распределения вероятности нормированы так, что либо

(дискретная величина), либо

(непрерывная величина).

Заметим, что вероятность называется дифференциальным законом распределения или плотностью вероятности.

Наши условия отражают очевидный факт

,

т. е. в этом бесконечном интервале нахождение каждой случайной величины является достоверным событием.

Функцией распределения случайной величины называется функция равной вероятности того события, что рассматриваемая случайная величина будет меньше некоторого произвольно выбранного фиксированного значения , т. е.

.

Для дискретной случайной величины эта функция вычисляется по формуле

Для непрерывной случайной величины существует формула:

Можно показать, что эта функция является неубывающей функцией и на концах интервала измерения должно быть справедливо:

.

Для расчета доверительных интервалов используется формула:

В качестве характеристик случайной величины используются ее моменты. Начальным моментом порядка называется число, представляющее собой интеграл

из них самый известный математическое ожидание

Центральным моментом порядка для случайной величины (если она непрерывная) является выражение:

Из которых самым популярным является дисперсия случайной величины , т. е. второй центральный момент