Лекция №1 (стр. 5 )

Может быть показано, что где N-число точек измерений.

Распределение Стьюдента часто применяется при построении доверительных интервалов, когда число точек N не превышает 30, а распределение погрешностей измерено нормально.

N<30,εxi≈N(0;Dε);

Поскольку распределение Стьюдента при неизвестной дисперсии, то получаемые интервалы шире, чем при известной дисперсии.

Заметим, что при увеличении объема измерений (N→∞), то Pst(k,t)→N(Mt,Dt) (стремится к нормальному распределению).

Пример: Найти доверительную вероятность измерений если величина получена по результатам пяти измерений, а предельная погрешность

Эту величину мы находим из таблиц распределения Стьюдента.

Лекция №5

Срединное отклонение

Известно, что наряду с дисперсией – мерой изменения рассеянной случайной величины – выступает в качестве меры рассеивания так называемое срединное отклонение Е, величина численно равная , где

Дифференциальный нормальный закон распределения выражен через срединное отклонение Е имеет вид

Само срединное отклонение Е удовлетворяет уравнению

Е

Выраженная через Е доверительная вероятность попадания случайной величины Х в интервал имеет вид

где - приведенная функция Лапласа

Задача №1

Определить среднюю ошибку (погрешность) Е некоторого прибора, написать дифференциальный закон распределения, выраженный через Е, если прибор не имеет систематических погрешностей, а случайная величина распределена по нормальному закону и с вероятностью Р=0,8 не выходят за пределы .

По условию . Запишем нашу вышевыведенную плотность - случайная погрешность .

Из таблицы для этой функции находим ее аргумент , то есть решаем транцендентное уравнение. Из таблиц =1,90

Запишем закон

Задача №2

Измерение некоторой физической величины, сопровождающиеся случайными и систематическими погрешностями.

Систематическая погрешность равна 50 единиц длины в сторону занижения дальности. Случайная погрешность подчиняется нормальному закону со средним квадратическим отклонением единиц длины.

Найти вероятность измерения длины с погрешностью не превосходящей по абсолютной величине 150 единиц длины. Вероятность того, что измеренная длина не превзойдет истинной.

Решение обозначим через Х суммарную погрешность измерения длины. По условию задачи имеем

1.  =0,9545, ,

2. 

Задача №3

По результатам пяти наблюдений была найдена длина стержня L=15,785 мм . Распределение наблюдателя нормальное.

Требуется оценить вероятность того, что истинное значение длины стержня отличается от измеренного среднего арифметического для N=5 не более, чем на 0,01 мм .

По условию задачи величина неизвестна, а известна ее оценка , поэтому мы должны решать задачу по схеме с неизвестной дисперсией с использованием дроби стьюдента или квантиля

Поэтому из таблиц для распределения стьюдента, куда входными аргументами являются находим Р=0,8838 (88,38%). А, например, для Р=0,96 (96%)

Ответ.

Семинар №4

Необходимое число измерений

Известно, что для уменьшения случайной погрешности результата измерения имеется два пути:

a)  повышение точности измерений, т. е. уменьшение величины ;

b)  увеличение числа измерений N.

Эти два требования связаны воедино известной нам формулой:

Всвязи с этим напомним, что если мы оцениваем метод, с помощью которого производятся измерения, то мы должны использовать величину (с. к.о. единого измерения) или же так называемый коэффициент вариаций является, как видно, относительным с. к.о.

Зная, величину мы с помощью формулы (1) можем подобрать необходимое число измерений N, чтобы получить требуемую величину .

Очевидно, если мы хотим повысить точность измерений величины х в 2 раза мы должны увеличить число измерений N в 4 раза, либо .

Известно, что уменьшать случайную погрешность измерения имеет смысл до тех пор, пока не начнет полностью определяться величиной , т. е.

Таким образом для этого необходимо добиться, чтобы доверительный интервал для случайной погрешности был бы много меньше величины истемной погрешности , другими словами , где ~ квантиль соответствующего вероятностного распределения .

Из практических данных известно, что . Поэтому рассматриваемый доверительный интервал , что тоже самое .

На практике необходимые условия могут быть менее жесткими, т. е. достаточно, чтобы В большинстве случаев используется .

Примеры:

1)  Измеряется диаметр шара с помощью микрометра, имеющего погрешность 1 м. к. Средняя квадратичная погрешность единицы измерения равна 2,3 м. к. Сколько измерений необходимо сделать для того, чтобы погрешности измерений диаметров шарика были не больше 1,5 м. к. с