Лекция №1 (стр. 4 )

где и для нее существуют таблицы.

Алгоритм построения доверительного интервала в случае известной дисперсии .

1. Задается определенной доверительной вероятностью и, используя формулу, находят величину

2. Из таблиц для значений функции Лагранжа находят ее аргумент квантираспределение Стьюинта.

3. Рассчитывают величину . Эта величина называется доверительной границей случайного отклонения результатов наблюдений от истинного значения результата измерения, эта граница соответствует доверительной вероятности .

4. Результат представляется в виде:

, где м. о. X

,

где м. о. X, неизвестное нам ().

Доверительный интервал для среднего арифметического с его дисперсией или с. к.о. имеет вид

, где

Можно записать

Величина называется границей доверительного интервала, она равна половине длины доверительного интервала и как видим ее величина в раз. Результат измерения можно представить в виде P=0,68; 0,85; 0,95.

При выводе этих формул мы предполагали, что дисперсия результатов измерения известна.

Рассмотрим случай неизвестной дисперсии . Выполняются следующие предпосылки:

1.  распределение погрешностей попрежнему нормальное;

2.  отсутствует систематическая погрешность измерений, т. е. ;

3.  - неизвестна, но используется ее оценка в виде

4.  присутствует ряд наблюдений над величиной х и рассмотрено среднее арифметическое

В этом случае вводят величину t называемую дробью Стьюдента

Плотность распределения этой дроби была введена английским статистиком Стьюдентом и называется распределением Стьюдента, для которой составлены разные таблицы

, где

k=N-1 – число степеней свободы

Вероятность того, что дробь Стьюдента в результате выполненных изменений примет некоторое значение в интервале вычисляется по формуле

Подставляя в это равенство величину получим окончательную формулу для доверительной вероятности

- это вероятность события, что отклонение среднего арифметического измерения величины х от своего истинного значения не превосходит величин с соответствующей доверительной вероятностью 0,68-0,99.

Существуют таблицы для распределения Стьюдента, содержащие величины

Семинар №3

Обработка результатов косвенных измерений

Косвенные измерения – это такие измерения, в которых искомая величина представляет собой явную функцию измеряемых величин x, y, z, u, v, w.

Рассмотрим случай двух аргументов {xi, yi}N и пусть уравнение измерений имеет вид:, где а – измеряемый физический параметр.

При этом

Поскольку истинное значение а всегда неизвестно, то может быть рассчитана ее оценка. Другими словами:

При этом в качестве оценки для аис в случае равноточных измерений (σ2=const) выступают величины , а в случае неравноточных измерений (σi2, i=1,N)в качестве оценки выступают величины:

Используя разложение функции в окрестности точки в ряд Тейлора и I-е два члена этого разложения можно получить выражение для дисперсии оцениваемой функции

Заметим, что если погрешность величин xi, yi коррелируют, т. е. cor(εi,yi)≠0, то формула для дисперсии должна быть усложнена путем введения в нее члена, пропорционального ковариации, т. е. линейно зависящего от zxy,где zxy – коэффициент корреляции величин x и y.

Рассмотрим простейший случай косвенных измерений, когда измеряемый параметр z=x+y, при этом

Переходя к оценке, получаем:

Выражение для дисперсии z получим, используя свойство дисперсии:

Но мы допустили некоррелируемость погрешностей εх и δу;

Нетрудно видеть, что данное выражение объединяет случай равноточности и неравноточности измерений.

Пример: Без учета поправки на теплообмен подъем температуры Δθ в калориметре определяется как разность между конечной температурой θf и начальной температурой θ0.

Δθ= θf -θ0.

Из эксперимента получены данные:

И используя дисперсии двух величин:

Окончательный итог получаем в виде:

Распределение Стьюдента

Справедливы постулаты:

1)  Распределение результатов измерений и их погрешностей нормально {xi}N;

2)  Отсутствуют систематические погрешности измерений Mxi=Mεi=0;

3)  Дисперсия неизвестна σх2

4)  Вместо величины дисперсии используется оценка дисперсии

5)  - известно.

В этом случае с использованием специально нормированной величины t, получаем

Также из k=N-1 – (число степеней свободы) можно получить плотность распределения Стьюдента

Введем интегральную функцию распределения (ИФР) для t: