Лекция №1 (стр. 6 )

Решение :

Поэтому необходимо сделать около 60 измерений для того, чтобы случайная погрешность смогла изменить общую погрешность результата измерения не более, чем в 1,5 раза.

Приближенно это соответствует случаю

2)  Коэффициент вариации . Системная погрешность измерений . Сколько измерений необходимо проделать, чтобы случайная погрешность практически не играла роли ().

Поскольку все погрешности заданы в относительных единицах

Лекция №6

Переопределенная система уравнений измерений и принцип наименьших квадратов.

В метрологической практике чрезвычайно актуальной является задача измерения многочисленных функциональных зависимостей между выходной величиной у и входной величиной х, то есть измеряется некоторая физическая зависимость, например, градуированная характеристика прибора, имеющая вид , где - вектор неизвестных параметров ~, х – вектор-абсцисс тех точек, в которых производятся измерения , у – вектор результатов измерений выходной величины .

Рассматривая для простаты вектор двумерной функциональной зависимости , который может быть также чем-то градуирована, мы должны решить задачу восстановления неизвестной функциональной зависимости по набору пар соответствующих изменений

При решении этой задачи можно предположить, что существуют неизвестные нам истинные зависимости между параметрами у и х:

, где - истинное значение измеряемой величины у,

- неизвестные нам истинные значения параметров

Мы пришли к следующим постулатам ~ так называемая «невязка» i-го результата измерения выходной величины . Смысл состоит в том, чтобы указать на приближенную характеристику, подбираемой нами зависимости (1). Поскольку всякий результат измеренной величины сопровождается погрешностью во-первых, а во-вторых подбираемый нами линейный вид зависимости может быть неточным, неадекватным, то есть нелинейным, поэтому точность, приближенного уравнения (1), называемого также уравнением измерения заключена в .

Поскольку мы имеем N пар измерений, то для каждой пары можно записать соответствующее уравнение измерения:

Объединяя все эти уравнения придем к системе уравнений измерения нашей задачи.

(*)

Данная (*) система является линейной по неизвестным параметрам и в тоже время эта система является переопределенной, то есть число уравнений N больше числа неизвестных параметров, и в силу своего приближенного характера, обусловленного наличием в каждом уравнении случайных невязок . Эта система является несовместной, то есть не имеющей точного решения. Поэтому для ее решения применяется подход, основанный на принципе наименьших квадратов. Этот принцип заключается в том, что в качестве исходных оценок неизвестных параметров берутся величины, минимизирующие остаточную сумму квадратов S

Другими словами, ищутся величины (**)

Применяя стандартную процедуру минимизации к соотношению (**) приходим к так называемой системе соотношения Гаусса

Выполняя процедуру дифференцирования этой квадратичной формы по , после некоторых преобразований придем к так называемой системе нормальных уравнений

(***)

Решая эту систему стандартным алгоритмом получим следующие две системы формул

(****)

Существует другая система формул, имеющая более сложный вид

(*****)

Отметим, что оценки называются оценками наименьших квадратов для неизвестных параметров и при этом полученная система (***) является совместной, имеющей единственное решение () и называется нормальной системой Гаусса.

К. обладают рядом оптимальных свойств. Они являются несмещенными оценками, т. е. , обладающими наименьшими дисперсиями среди любых линейных несмещенных оценок, т. е. , где - любые линейные несмещенные оценки. Другими словами оценки М. Н.К. являются эффективными оценками среди класса линейных несмещенных оценок.

Таким образом подход, основанный на алгоритме М. Н.К., заключается в минимизации суммы квадратов расстояний ( по ординатам ) в каждой точке измерения () до аналогичной на этой ординате точке с истинной зависимостью. Найденные значения оценок М. Н.К. систем (***), (****) и так далее позволяют построить для полного набора так называемую прямую регрессии М. Н.К. в виде

(5)

Напомним, что регрессией величины (у) имеющей случайный разброс на детерминированную величину х называется функция условного математического ожидания

Рассмотрим пример,

Даны три пары совместных уравнений

Рассчитать по формулам оценки М. Н.К.

Возьмем формулы

Ответ

(1;3.72) (2;5.03) (3;6.34)

Лекция №7

Система нормальных уравнений