Лекция №1 (стр. 3 )

Измерение называется равноточным, если , и измерения неравноточные, если

Целью каждого алгоритма обработки является получение по возможности точных, но тем не менее приближенных значений оценок неизвестных параметров задач и эти оценки обычно обозначаются .

Пусть дана выборка . Объем . Предположим, что эти результаты свободны от грубых промахов (выбросов) и систематических погрешностей. Оценить истинное значение измеряемой величины это значит:

1) указать такую функцию от результатов измерений, которая дает при расчетах достаточно хорошую близость к неизвестному нам ее истинному значению. Такая функция называется точечной оценкой для величины .

2) указать границы интервала , которая с заданной вероятностью покрывает истинное значение параметра . Такой интервал называется доверительным интервалом, а его границы – доверительными границами, а соответствующая ему вероятность называется доверительной вероятностью (0,68 - 0,999).

Заметим, что величина называется среднее квадратическое отклонение (с. к.о.).

Семинар №2

Вес измерений

или

(Л. Н.О.)

;

;

; ;

;

;

- оценка методом наименьших квадратов.

Чтобы применить МНК, необходимо чтобы:

1)результаты измерений У были распределены по нормальному закону

2)Измерения были эффективными и несмещенными

При применении хорошего алгоритма, погрешности возникают только на У, а на Х – нет.

При любых измерениях точность после обработки влияет на возможность использования метода обработки.

Для них необходимо нормальное распределение.

Лекция №3

Нормальное распределение (Гаусс) – гипотеза о нормальности распределения справедлива в основном при использовании следующих трех постулатов:

1)  погрешности изменений могут принимать непрерывный ряд значений, т. е. полностью сплошь заполнять конечный или бесконечный интервал, т. е. погрешность является непрерывно распределенной величиной;

2)  при большом числе изменений погрешности, каждые измененные величины должны быть примерно одинаковы и разного знака или возникать одинаково часто.

Другими словами распределение погрешностей в пределе стремится к симметричному распределению;

3)  частота появления погрешностей уменьшается с увеличением величины погрешности. Другими словам, чем больше величина погрешности, тем меньше вероятность ее появления. Другими словами большие ошибки должны встречаться гораздо реже маленьких ошибок.

Резюмируя сказанное приходим к выводу, что в условиях большого числа мешающих факторов каждый из которых оказывается незначительным по сравнению с другими на результаты. Каждый фактор может быть либо случайным, либо систематическим. Распределение ошибок стремится к нормальному закону. Другими словами погрешность изменения любой физической величины х должна в пределе описываться нормальной плотностью распределения вероятности, т. е. нормальным законом, выведенным Гауссом перечисленного в трех постулатах

или же

Как показывают формулы нормального распределения погрешность может стремится к нулю, хотя существует огромное число изменений для которых погрешность никогда не превратиться в нуль.

На рисунке изображены два нормальных закона распределения погрешностей (случайной величины)

Из рисунка видно, что с увеличением дисперсии (неопределенность разброса) изменения плотность распределения расширяется, при этом вероятность появления больших погрешностей должна возрастать, а для малых уменьшаться.

Подсчитаем вероятность попадания результата изменения в некоторый заданный интервал . Как известно из теории вероятности искомая вероятность рассчитывается так

Проведем под интегралом замену переменных

, ,

После такой замены, написанной нами интеграл принимает вид:

F(x) – и. ф.р.

, где

- так называемая табулированная функция Лапласа, где

Эта функция имеет эквивалентную запись в виде

(1)

Лекция 4.

С помощью этой функции (1) считаются всевозможные считаются всевозможные доверительные интервалы

Следует иметь в виду, что откуда .

Особое значение нормального распределения связано с тем обстоятельством, что в тех случаях, когда суммарная погрешность появляется в результате совместного действия таких причин, каждая из которых вносит общую долю в малую ошибку, то независимо от вида закона распределения шума от каждой из причин, результатом их суммарного действия будет являться нормальное распределение, т. е. Гауссовское распределение погрешностей. Эта закономерность есть следствие центральной предельной теоремы Ляпунова, другими словами предполагается отсутствие доминирующих источников погрешностей.

В долях с использованием так называемого квантиля распределения Стьюдента . Квантиль можно записать следующим выражением для доверительного интервала измерения величины .