Сопротивление материалов (стр. 10 )

Для главных напряжений, занумерованных по убыванию, используется специальное обозначение: , , . Обозначение предполагает (с учетом знака).

Главные напряжения обладают свойством экстремальности: одно из них максимально среди нормальных напряжений на площадках с произвольной нормалью , другое – минимально. В принятых обозначениях , . Пусть – вектор напряжения на площадке с нормалью , – его модуль. Свойство экстремальности означает также следующее: .

Главными направлениями напряженного состояния называют направления нормалей к главным площадкам. Эти направления обозначают цифрами 1, 2, 3. Главные площадки обозначают соответственно 1, 2, 3.

Напряженное состояние, при котором ни одно из трех главных напряжений не равно нулю, называется объемным. Если одно из главных напряжений равно нулю, то напряженное состояние называется плоским. Наконец, линейным именуется напряженное состояние, при котором отлично от нуля только одно главное напряжение. Далее рассматривается плоское напряженное состояние.

Пусть главная площадка с нулевым главным напряжением расположена перпендикулярно оси y. Тогда при плоском напряженном состоянии отличны от нуля напряжения , , , (рис. 2.1; где с целью упрощения рисунка напряжения показаны не на всех гранях элементарного параллелепипеда; ненагруженная площадка совпадает с плоскостью чертежа).

Аналитическое исследование плоского напряженного состояния. Заданы напряжения на взаимно перпендикулярных площадках. Вычисляются напряжения на площадках произвольной ориентации, главные площадки и главные напряжения, площадки, по которым действуют экстремальные касательные напряжения.

Рис. 2.2. Напряжения на наклонной площадке

Рис. 2.1. Плоское напряженное состояние в точке тела

Правила знаков для напряжений: нормальное напряжение положительно, если направление напряжения совпадает с направлением внешней нормали (направлено от площадки, растягивающее); касательное напряжение положительно, если в плоскости чертежа оно обходит площадку по часовой стрелке.

На двух взаимно перпендикулярных площадках заданы напряжения , , , . На рис. 2.1, 2.2 нормальные напряжения , (растягивающие), касательное напряжение (обходит площадку по часовой стрелке), касательное напряжение (обходит площадку против часовой стрелки). При указанном правиле знаков закон парности касательных напряжений имеет вид

. (2.1)

Наклонная площадка перпендикулярна чертежу, ее положение определяет угол между нормалью к ней и осью x (см. рис. 2.2). Угол отсчитывается от оси x к нормали и считается положительным, если отсчет происходит против часовой стрелки.

Нормальное напряжение и касательное напряжение на наклонной площадке определяются формулами

; (2.2а)

. (2.2б)

В правой части формул на первом месте в разности стоит нормальное напряжение на площадке, от нормали к которой отсчитан угол . Касательное напряжение берется с этой же площадки.

Из выражения (2.2а) следует, что сумма нормальных напряжений на двух взаимно перпендикулярных площадках не изменяется при повороте этих площадок:

, (2.3)

– нормальное напряжение на площадке, перпендикулярной площадке с нормалью n.

Когда заданные площадки являются главными, формулы (2.2а) и (2.2б) принимают вид

(2.4)

Здесь , – главные напряжения.

Главные напряжения вычисляются по формуле

. (2.5)

Согласно (2.3)

. (2.6)

Положение главных площадок определяет угол , который находится из уравнения

. (2.7)

Формуле (2.7) отвечает множество углов , отличающихся друг от друга на величину, кратную 90°. Разные главные площадки соответствуют только двум из этих углов, которые обозначают , .

Для определения площадки, на которой действует бóльшее из напряжений , , нужно вычислить вторую производную

. (2.8)

и посмотреть на ее знак. Если при , то на этой площадке действует меньшее из напряжений , , в противном случае – бóльшее (случай равенства нулю не встречается).

В рассматриваемом случае плоского напряженного состояния три главных напряжения таковы: , , 0. – максимальное, а – минимальное (с учетом знака) из этих трех напряжений.

Максимальное среди касательных напряжений на всевозможных площадках, проведенных через точку, таково:

. (2.9)

Это напряжение действует на площадке, одинаково наклоненной к площадкам 1 и 3. Соответствующее нормальное напряжение

.