Сопротивление материалов (стр. 13 )

Определение максимального касательного напряжения. Касательное напряжение, максимальное среди касательных напряжений на площадках, перпендикулярных плоскости (рис. 2.7), определяется формулой (2.10):

МПа.

В рассматриваемом примере главные напряжения , , поэтому касательное напряжение является максимальным среди касательных напряжений для всей совокупности площадок, проходящих через заданную точку: . Нормальное напряжение на той же площадке дается формулой (2.11):

МПа.

Графический способ исследования напряженного состояния

Способ состоит в построении круга напряжений Мора, позволяет проверить аналитическое решение.

Круг напряжений Мора является средством вычисления, поэтому его необходимо строить в крупном масштабе на миллиметровке, используя заточенный карандаш. Чем точнее выполнены построения, тем точнее будет получен результат

Строим круг напряжений (рис. 2.8). Изображаем систему координат , используя одинаковый масштаб по вертикальной и горизонтальной осям. Отмечаем на координатной плоскости две точки X, , соответствующие заданным площадкам с нормалями . Координатами точек , являются нормальные и касательные напряжения на заданных площадках. Соединяем точки отрезком, который представляет собой диаметр круга Мора. Точка О пересечения диаметра с осью – центр круга. Проводим окружность.

Точкам I, III пересечения круга с горизонтальной осью соответствуют главные площадки 1, 3. Горизонтальные координаты этих точек (измеренные в масштабе) являются главными напряжениями: МПа, МПа.

Рис. 2.8. Круг Мора, изображающий заданное плоское напряженное состояние

Отмеченные на рисунке углы дают удвоенные значения углов , , которые определяют положения главных площадок. Из рисунка видна связь главных напряжений , и углов , . Графически найденные значения: ,

Площадке, по которой действует максимальное касательное напряжение, соответствует точка круга. Координаты точки дают значения МПа, МПа.

Найдем напряжения на наклонной площадке. Отметим на круге точку , соответствующую этой площадке, отложив от радиуса OX (соответствующего оси x) против часовой стрелки угол , либо от радиуса ОZ (соответствующего оси z) в том же направлении угол 2×15°. Координаты точки дают напряжения на наклонной площадке: , .

Рис. 2.9. Круги Мора, изображающие объемное напряженное состояние

Графическим изображением пространственного напряженного состояния служат три круга напряжений. Точки каждого круга изображают площадки, которые перпендикулярны одной из главных площадок. Точки затемненной области изображают всевозможные наклонные площадки. Изображение напряженного состояния в виде трех кругов Мора используется в качестве иллюстрации, а не в качестве способа вычисления, поэтому в расчетной работе данный рисунок можно выполнить в меньшем масштабе и не обязательно на миллиметровке. Круги напряжений для рассматриваемого напряженного состояния показаны на рис. 2.9. Круг напряжений на рис. 2.8 соответствует площадкам, перпендикулярным плоскости чертежа (перпендикулярным второй главной площадке). Из рис. 2.9 видно, что максимальное касательное напряжение определяется по бóльшему кругу.

Проверка прочности. Главные напряжения , , вычислены выше.

Начать решение вопроса нужно с выбора соответствующей материалу теории прочности. По условию задачи материал – сталь (пластичный материал), поэтому используем третью и четвертую теории прочности.

Согласно третьей теории прочности эквивалентное напряжение

.

Сравнение с пределом текучести показывает, что материал работает упруго. Действительно,

.

Но условие прочности не выполнено:

.

Это означает, что не обеспечен нормативный коэффициент запаса прочности. Конструкцию, имеющую точку с такими напряжениями, эксплуатировать запрещается. Действительный (фактический) коэффициент запаса

меньше нормативного .

Согласно четвертой теории прочности

МПа.

Условие прочности не выполнено и согласно четвертой теории. Однако фактический коэффициент запаса оказывается другим:

.

Положения опасных площадок согласно третьей и четвертой теориям приведены на рис. 2.10, 2.11. По площадке, выделенной жирным контуром, на рис. 2.10 действует максимальное касательное напряжение. Эта площадка перпендикулярна к площадке 2 и наклонена под углом в 45° к площадкам 1 и 3. Выделенная площадка рис. 2.11 соответствует четвертой теории прочности. Она равно наклонена ко всем трем главным площадкам.

Специально обратим внимание на способ изображения опасных площадок: эти площадки показаны с привязкой к исходному элементу. Так необходимо сделать и при оформлении задачи.

Рис. 2.10. Опасная площадка по третьей теории прочности

Рис. 2.11. Опасная площадка по четвертой теории прочности

Поскольку привязка исходного элемента к конструкции, из которой он вырезан, известна, примененный способ изображения площадок равносилен указанию опасных площадок непосредственно на конструкции.

Определение деформаций в точке. Деформации являются упругими и можно применять обобщенный закон Гука, так как вычисленные выше эквивалентные напряжения меньше предела текучести: .

Когда превышает , закон Гука определяет упругую (обратимую) часть полной деформации. В таком случае в задаче нужно вычислить лишь эту составляющую, отметив примечанием в тексте.