Сопротивление материалов (стр. 7 )

Рис. 1.15. Схема конструкции в задаче № 6

1) определить грузоподъемность системы тремя способами:

·  расчетом по упругой стадии деформаций;

·  расчетом по упругопластической стадии;

·  расчетом по предельному пластическому состоянию;

2*) определить остаточные напряжения в стержнях системы при полной разгрузке из положения предельного равновесия.

Решение

I. Определение грузоподъемности системы расчетом

по упругой стадии деформаций

Найдем степень статической неопределимости системы. В данной конструкции имеем три неизвестные продольные силы в стержнях. Число уравнений статики, которые можно составить для системы сил, сходящихся в одной точке, равно двум. Таким образом, число неизвестных больше числа уравнений равновесия на единицу, и система является один раз статически неопределимой. Можно определить степень статической неопределимости и по-другому. Шарнир (модель которого - точка) для неподвижного закрепления на плоскости требует наложения двух линейных связей. Такими необходимыми связями являются любые два стержня из имеющихся трех стержней системы. Следовательно, оставшийся третий стержень становится лишней кинематической связью (лишним стержнем), а система является один раз статически неопределимой.

Рис. 1.16. План перемещений при расчете по упругой стадии

Для раскрытия статической неопределимости требуется составить уравнения статики, одно (по числу лишних связей) кинематическое соотношение (условие совместности деформаций) и физические уравнения. Рекомендуем начинать решение задачи с записи условия совместности деформаций, построив предполагаемый план перемещений. Для составления уравнений равновесия строим план сил, направления усилий на котором должны быть согласованы с планом перемещений.

1. Уравнение совместности деформаций. Построим предполагаемый план перемещений (рис. 1.16). Величины двух абсолютных деформаций задаем произвольно (например, считаем, что стержни 2 и 3 удлиняются, и откладываем произвольные отрезки и вдоль стержней). На пересечении траекторий поворота концов двух стержней (перпендикуляров к направлениям стержней) получаем новое положение шарнира – точку С¢ на рис. 1.16. Опустив из этой точки перпендикуляр на направление оси стержня 1, найдем величину его абсолютной деформации .

Разложим полное перемещение шарнира – отрезок – на составляющие и . Найдем абсолютные деформации стержней, выразив их через и , используя их геометрическую связь:

,

,

.

Исключив из этих выражений и , получим искомое соотношение между абсолютными деформациями

.

Допускается составлять уравнение совместности деформаций приближенно, измеряя отношения между абсолютными деформациями по построенному в масштабе плану перемещений. Для приближенного определения связи между абсолютными деформациями представим эту связь в виде

.

Неизвестные параметры данной зависимости и определим из двух планов перемещений. При построении первого плана перемещений предположим, что . Измерим деформации первого и третьего стержней. Тогда

.

Построив второй план перемещений в предположении, что , найдем отношение деформаций первого и второго стержней и получим

.

2. Уравнения равновесия. Составим их на основании плана сил. Нарисуем план сил, вырезав узел и заменив отброшенные части стержней внутренними усилиями, причем направления усилий покажем в соответствии с планом перемещений растягивающими (рис. 1.17). Запишем два независимых уравнения статики. Для данной системы таковыми являются:

; ;

; .

Рис. 1.17. План сил в упругой стадии работы

3. Физические соотношения. Поскольку расчет ведется по упругой стадии деформаций, то материал конструкции подчиняется закону Гука (1.3) и для каждого стержня записываем физические уравнения:

; ; .

Полученную систему уравнений решаем относительно усилий , , . Например, при , это решение имеет вид

,,.

Найденное решение показывает, что усилие в первом стержне отрицательно, т. е. стержень не растянут, как мы предполагали, а сжат. Полученные положительные знаки и подтверждают предположение о том, что эти стержни растянуты.

Для проверки прочности конструкции определим напряжения в стержнях системы:

;

;

.

При расчете по упругой стадии деформации считаем, что предельное состояние конструкции наступит тогда, когда потечет один, наиболее напряженный, стержень. Поскольку пластичный материал имеет одинаковые пределы текучести при сжатии и растяжении, то знак напряжения не имеет значения и первым потечет стержень, в сечении которого возникают наибольшие по модулю напряжения. В данном случае это третий стержень. Из условия его текучести находим предельную нагрузку:

, ;

а из условия прочности - допускаемую нагрузку на конструкцию:

, .

Отметим, что при расчете по упругой стадии деформаций нагрузка и напряжения на всем участке деформирования связаны прямой пропорциональной зависимостью, а потому коэффициенты запаса по напряжениям и по нагрузке равны между собой.