Сопротивление материалов (стр. 14 )

Линейные деформации в направлении осей таковы:

,

,

.

Угловая деформация

.

Знак минус говорит об уменьшении угла . Отсутствие касательных напряжений означает отсутствие соответствующих угловых деформаций: .

Линейные деформации вдоль главных направлений 1, 2, 3

Рис. 2.12. Деформация элемента по направлениям х, z

Рис. 2.13. Деформации элемента по главным направлениям 1, 3

Относительная объемная деформация

.

Рис. 2.12, 2.13 иллюстрируют результаты вычислений. На этих рисунках , и , – размеры ребер элементов с гранями, перпендикулярными до деформации тела исходным и главным осям соответственно. В результате деформации элементы перемещаются как жесткое целое и деформируются. На рисунках сплошной и пунктирной линиями изображены элементы после и до деформации соответственно. Перемещение элементов как жесткого целого не изображено.

Примечание. Рисунки, показывающие деформации элемента, выполняются в масштабе. Так как абсолютные деформации существенно меньше, чем длины граней, то для наглядности рисунков масштабы длин и удлинений выбираются разными.

2.2. ИССЛЕДОВАНИЕ ПЛОСКОГО НАПРЯЖЕННОГО

СОСТОЯНИЯ ПО ЗАДАННЫМ НАПРЯЖЕНИЯМ

НА ГЛАВНЫХ ПЛОЩАДКАХ.

ПРОВЕРКА ПРОЧНОСТИ (ЗАДАЧА № 8)

Условие задачи

На гранях элементарного параллелепипеда заданы главные напряжения (рис. 2.14). Материал элемента – чугун c характеристиками МПа, МПа, МПа, . Нормативный коэффициент запаса прочности .

Рис. 2.14. Условие задачи № 8

Требуется:

1)  найти нормальное , касательное и полное напряжения на наклонной площадке, заданной углом и изображенной на рис. 2.14;

2)  найти величины наибольшего касательного напряжения и соответствующего ему нормального напряжения, показать положение площадки, на которой эти напряжения действуют;

3)  проверить прочность материала; найти действительный коэффициент запаса прочности.

Решение

Заданный элемент ограничен главными площадками, поэтому сразу пронумеруем главные напряжения по убыванию (, МПа, МПа) и изобразим на рисунке главные оси (рис. 2.15).

Рис. 2.15. Уточнение условия задачи

Определение напряжений. Напряжения на наклонной площадке вычисляются так же, как в задаче № 7. Единственное отличие состоит в том, что можно использовать частный случай (2.4) общих формул (2.2а) и (2.2б). Положение наклонной площадки будем задавать углом , отсчитываемым от оси 3 к нормали n. Значение положительно, так как угол отсчитывается против часовой стрелки.

Согласно (2.4)

Модуль полного напряжения

МПа.

Примененная формула для касательного напряжения справедлива для площадок, перпендикулярных плоскости чертежа. Максимальное для таких площадок касательное напряжение

МПа.

Соответствующее нормальное напряжение

МПа.

Подсчитанное выше значение касательного напряжения не самое большое из всех возможных значений. Это значение является максимумом для касательных напряжений по площадкам, перпендикулярным плоскости чертежа. Площадка, на которой действует , расположена под углом 45° к главным площадкам 2, 3 (рис. 2.16).

Рис. 2.16. Площадка с максимальным касательным напряжением

Рис. 2.17. Площадка с максимальным касательным напряжением

Рис. 2.18. Круг Мора, изображающий заданное плоское напряженное состояние

Максимальное касательное напряжение (максимум вычисляется для всех возможных площадок, проведенных через точку) и соответствующее ему нормальное напряжение имеют величины

МПа,

МПа

и действуют на площадке, перпендикулярной второй главной площадке и повернутой на угол в 45° к первой и третьей главным площадкам (рис. 2.17). Заметим особо, что теперь, в отличие от результата в задаче № 7, .

Рис. 2.19. Круги Мора, изображающие заданное объемное напряженное состояние

Круг напряжений для заданного плоского напряженного состояния показан на рис. 2.18. Координаты точки дают значение напряжений на площадке с нормалью n. Площадке с соответствует точка круга.

На рис. 2.19 показаны все три круга напряжений. Видно, что площадке с наибольшим по модулю касательным напряжением соответствует точка, лежащая на бóльшем круге напряжений.

Проверка прочности. По условию задачи материал элемента хрупкий. При проверке прочности используем теории прочности, относящиеся к хрупким материалам.

Расчетное напряжение, соответствующее первой теории прочности

.

Видим, что первая теория прочности не годится для оценки прочности, так как она выдает в рассматриваемой ситуации неправдоподобный результат: при любом уровне напряжений прочность обеспечена.