Сопротивление материалов (стр. 9 )

Отсюда .

Аналогично можно определить предельную нагрузку для третьего варианта, в котором пластически деформироваться будут стержни 1 и 2. Фактической предельной нагрузкой будет минимальное значение из трех полученных. В нашей задаче это (первый вариант предельного состояния), что совпадает со значением, найденным ранее расчетом по упругопластической стадии.

Надо отметить, что число кинематически возможных вариантов предельного состояния может уменьшиться, если ось какого-либо стержня совпадает с линией действия нагрузки (в этом случае поворота этого стержня не происходит и механизма не образуется).

Допускаемое значение нагрузки определяем как отношение предельного значения нагрузки к коэффициенту запаса прочности n.

IV. Определение остаточных напряжений

Процесс нагружения конструкции в упругой и упругопластической стадиях, рассмотренный в пп. I и II, можно отобразить на диаграмме в осях (рис. 1. 22). Характерные точки этой диаграммы получены по соответствующим зависимостям для трех стержней конструкции.

Рассмотрим процесс полной разгрузки системы из положения предельного равновесия (на диаграмме это соответствует вертикальной прямой с абсциссой ). Процесс разгрузки можно трактовать как наложение на существующие напряжения напряжений от отрицательного приращения нагрузки. Закон изменения последних определяется упругим решением задачи до тех пор, пока величина напряжения в одном из стержней не достигнет , поэтому линии разгрузки каждого стержня будут направлены параллельно линиям упругого нагружения (левый участок диаграммы). Если одно из напряжений при разгрузке достигнет величины (как это имеет место в нашем случае), то законы изменения напряжений станут соответствовать упругопластической стадии, а их графики будут параллельны соответствующим линиям нагружения (правый участок диаграммы).

Зависимости можно записать, пользуясь уравнением прямой с известным угловым коэффициентом, проходящей через заданную точку:

,

где - угловой коэффициент прямой линии нагружения, параллельной рассматриваемой линии разгрузки; и - начальные параметры (напряжение и нагрузка в начале участка). В нашем случае , для стержней 1 и 3, а для стержня 2 .

Запишем эти зависимости непосредственно после начала разгрузки:

,

,

.

Напряжение , как легко вычислить, достигнет значения при снижении нагрузки до . При этом напряжения в остальных стержнях будут , .

Пользуясь найденными значениями как начальными параметрами, запишем зависимости для напряжений на втором участке разгрузки, проходящей в упругопластической стадии:

,

,

.

При полной разгрузке () получаем следующие значения остаточных напряжений: , , . В заключение следует проверить равновесие узла при полученных значениях остаточных напряжений.

2. ИССЛЕДОВАНИЕ ПЛОСКОГО НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ. ПРОВЕРКА ПРОЧНОСТИ ДЛЯ СЛОЖНОГО НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ

Рекомендуемая литература

, , Державин материалов. М.: Высш. шк., 1995. Гл. 13 (§ 13.6).

Гастев курс сопротивления материалов. М.: Физматгиз, 1977. Гл. 3 (§ 10, 11), гл. 4 (§ 14, 15, 20).

, Шпиро материалов. М.: Высш. шк., 1989. Гл. 3 (§ 3.1–3.5, 3.7), гл. 8 (§ 8.1, 8.2).

Основные понятия и формулы

Напряженное состояние в точке тела. Под точкой тела понимаем малый объем материала вблизи геометрической точки. Внутри этого объема напряжения изменяются дифференциально мало. Напряженным состоянием в точке называют совокупность напряжений на всех площадках, проведенных через нее. Напряженное состояние задают три вектора напряжений на трех взаимно перпендикулярных площадках. Эти три площадки выбираются произвольно. Изображают точку в виде параллелепипеда, построенного на указанных трех площадках.

Пусть введена прямоугольная система координат и три площадки, перпендикулярные ее осям x, y, z. Векторы напряжений на этих трех площадках задаются своими проекциями на оси координат и обозначаются соответственно , , . Проекции, перпендикулярные площадкам, называются нормальными напряжениями , , . Индекс в обозначении указывает направление нормали к площадке. Проекции, лежащие в плоскостях площадок, называются касательными напряжениями , , , , , . Первый индекс обозначения определяет площадку, на которой действует напряжение, второй индекс указывает ось, в направлении которой напряжение действует.

Следствием условий равновесия элементарного объема тела является закон парности касательных напряжений: ;

; . Касательные напряжения , направлены либо навстречу друг другу, либо в противоположные стороны.

С учетом закона парности касательных напряжений для задания напряженного состояния в точке нужно указать шесть параметров: три нормальных напряжения ,, и три касательных напряжения , , .

В точке всегда можно выбрать три взаимно перпендикулярные площадки, на которых действуют только нормальные напряжения, а касательные напряжения равны нулю. Эти площадки называют главными, действующие на них нормальные напряжения – главными напряжениями.