Сопротивление материалов (стр. 11 )

Касательное напряжение, максимальное по модулю среди напряжений на площадках, перпендикулярных плоскости чертежа, таково:

. (2.10)

Соответствующее нормальное напряжение

. (2.11)

В общем случае величины , различны.

Графическое исследование плоского напряженного состояния. Вместо вычислений по приведенным выше формулам можно построить круг напряжений Мора и произвести графические построения. В этом заключается графическое решение задачи (см. примеры).

Деформированное состояние в точке. Деформированным состоянием в точке называют совокупность линейных деформаций всевозможных элементарных отрезков, проходящих через точку, и изменений углов между всевозможными парами этих отрезков.

Пусть – длины до деформации трех взаимно перпендикулярных элементарных отрезков, расположенных вдоль осей . ,, – изменения этих длин в результате деформации.

Деформированное состояние в точке определяют шесть параметров: три линейных деформации

, , ,

и три угловых деформации, , , представляющих собой изменения прямых углов между отрезками .

Через точку всегда можно провести три взаимно перпендикулярных отрезка, углы между которыми не изменятся при деформации. Оси координат, направленные вдоль этих отрезков, называют главными осями деформации.

Связь между напряжениями и деформациями. Для изотропного материала (свойства материала одинаковы во всех направлениях) при не слишком большом уровне напряжений связь напряжений и деформаций описывает обобщенный закон Гука:

(2.13)

Здесь , , – упругие характеристики материала; – модуль Юнга (модуль упругости); – коэффициент Пуассона (); – модуль сдвига. Имеет место соотношение .

Для изотропного материала главные оси деформации и напряженного состояния совпадают, поэтому линейные деформации вдоль главных осей определяются соотношениями (2.13):

,

, (2.14)

.

Соответствующие угловые деформации равны нулю.

Относительная объемная деформация в точке есть отношение абсолютного изменения объема элементарного параллелепипеда к его первоначальному объему. Связь объемной деформации с линейными деформациями дает соотношение

. (2.15)

Оценка прочности. Прочность материала в точке проверяется по соответствующей материалу теории прочности. Из большого числа ныне существующих теорий прочности при выполнении студенческих задач используются перечисляемые ниже.

Под исчерпанием прочности подразумевается переход материала в предельное состояние – разрушение для хрупкого материала и развитие пластической деформации для пластичного материала. Расчет должен обеспечивать некоторый нормативный запас прочности, что проще всего достигается введением коэффициента запаса прочности, понижающего разрешаемый уровень напряжений.[5]

Для всех применяемых при выполнении расчетно-графической работы теорий прочности условие прочности можно записать в едином виде

, (2.16)

где – допускаемое напряжение. Величина представляет собой предельный уровень напряжения и определяется из эксперимента. Для хрупких материалов она совпадает с пределом прочности при осевом растяжении, для пластичных материалов – с пределом текучести при осевом растяжении. n – нормируемый коэффициент запаса прочности. – комбинация главных напряжений , , (эквивалентное напряжение).

Согласно первой теории прочности, справедливой для хрупких материалов, разрушение происходит от отрыва при достижении максимальным напряжением (оно должно быть положительным, т. е. растягивающим) предельного значения. Плоскость отрыва (опасное сечение) перпендикулярна направлению главного напряжения . Условие прочности имеет вид

. (2.17)

Вторая теория прочности также применяется к хрупким материалам. Согласно этой теории разрушение происходит от отрыва при достижении максимальной деформацией (она должна быть положительной) предельного значения. Деформации вплоть до момента разрушения считаются малыми и вычисляются по закону Гука. Плоскость отрыва (опасное сечение) перпендикулярна направлению действия главного напряжения . Условие прочности приводится к виду

. (2.18)

Третья теория прочности определяет уровень напряжений, при котором в пластичном материале возникают заметные остаточные деформации. Согласно третьей теории прочности переход материала в предельное состояние происходит от сдвига при достижении максимальным касательным напряжением предельного значения. Плоскость пластического сдвига (опасное сечение) совпадает с плоскостью действия напряжения . Данной теории соответствует условие прочности

. (2.19)

Согласно четвертой теории прочности пластическое деформирование возникает от сдвига при достижении энергией изменения формы предельного значения. Условием прочности служит соотношение

. (2.20)

Непосредственно эта теория прочности не определяет положения опасных площадок. Последние (на основании иной трактовки теории) можно считать равно наклоненными к главным осям (октаэдрические площадки).

Условие прочности, соответствующее теории прочности Мора (пятой теории прочности), имеет вид

. (2.21)

Здесь , – пределы прочности при растяжении и при сжатии. По теории Мора можно определить и положение опасных площадок. Соответствующая формула не приводится.

К оценке прочности хрупких материалов применяются первая, вторая и пятая теории прочности. Однако результаты оценки заметно различаются. Наиболее достоверна оценка по пятой теории прочности.

Третья и четвертая теории прочности применяются к оценке прочности пластических материалов, дают близкие оценки прочности и широко используются в инженерных расчетах.