Сопротивление материалов (стр. 5 )

Решив полученную систему уравнений, найдем продольные силы, а затем напряжения в разных частях стержня и построим эпюры их распределения по длине стержня (рис. 1.9, б). Если знак усилия после решения системы уравнений получился отрицательным, это означает, что сделанное предположение о направлении продольной силы не подтвердилось. В рассмотренной задаче отрицательным должно получиться усилие , т. е. второй участок длиной b не растянут, а сжат. Знаки N и s на эпюрах ставим в соответствии с правилом знаков для продольной силы.

После определения напряжений производим проверку прочности по формулам (1.5) или (1.7) так же, как в статически определимой системе. Если условие прочности на каком-нибудь участке стержня не будет выполняться, измените значение F так, чтобы условие прочности соблюдалось.

II.Определение температурных напряжений

Найдем удлинение стержня от температурного воздействия и убедимся в том, что это удлинение больше заданного зазора .

.

Рис. 1.10. К решению задачи № 4: а – план сил от действия , б – эпюры продольной силы и напряжений от

Если >, то система является один раз статически неопределимой, и раскрытие статической неопределимости производим по той же схеме, что и в предыдущей части задачи:

Из уравнений равновесия следует, что и . Здесь в соответствии с рис. 1.10, а предполагаем, что стержень всюду сжат. (Силу F при определении температурных напряжений считаем равной нулю.)

Уравнение совместности деформации показывает, что абсолютная деформация стержня, равная разности удлинения стержня от температурного воздействия и укорочения от действия сжимающих продольных сил не может быть больше заданного зазора :

,

где .

Укорочение стержня от действия продольных сил найдем, используя физические уравнения (закон Гука):

и .

После решения полученной системы уравнений найдем усилия в обеих частях стержня. Полученный положительный знак должен подтвердить предположение о том, что стержень сжат. Строим эпюры продольной силы и напряжений (рис. 1.10, б) от температурного воздействия.

Проверяем прочность стержня и в случае невыполнения условия прочности на каком-нибудь участке находим новое значение , при котором условие прочности будет соблюдаться на всех участках.

1.2.2. Расчет статически неопределимой стержневой конструкции, работающей на растяжение-сжатие (задача № 5)

Условие задачи

Стержневая конструкция, состоящая из абсолютно жесткого диска и двух деформируемых стержней длиной l1 и l2, соединенных шарнирами, подвержена действию силы F (рис. 1.11). Примем следующие исходные данные: м, м, , , м, м,

Рис. 1.11. Схема конструкции в задаче № 5

Решение этой задачи состоит из трех частей:

Часть 1. Расчет по упругой стадии деформации. В зависимости от исходных данных, выписанных из таблицы и являющихся индивидуальными для каждого студента, надо либо определить грузоподъемность конструкции, либо подобрать размеры поперечного сечения расчетом по допускаемым напряжениям.

Часть 2. Расчет по предельному пластическому состоянию. Требуется найти грузоподъемность (или подобрать сечения стержней) расчетом по предельному состоянию.

Часть 3. Определение дополнительных напряжений, связанных с изменением температуры на DT или неточностью изготовления D одного из стержней. Допустим, что в рассматриваемой задаче стержень 1 охлаждается (DT1 < 0), и найдем возникающие в стержнях конструкции температурные напряжения.

Решение

Прежде всего убедимся, что рассматриваемая конструкция является статически неопределимой. Сосчитаем число неизвестных: ими являются продольные силы в двух деформируемых стержнях и две опорные реакции в шарнирно неподвижной опоре в точке А. Таким образом, имеем 4 неизвестные, а число независимых уравнений статики для данной системы равно 3. Система является один раз статически неопределимой.

Часть 1. Для расчета конструкции по упругой стадии деформации необходимо составить три группы уравнений:

·  уравнения равновесия;

·  уравнения совместности деформаций;

·  физические уравнения (закон Гука).

Чтобы составить уравнения равновесия, нарисуем план сил. Для этого рассечем стержни и, отбросив части стержней, заменим их внутренними усилиями – продольными силами N1 и N2 (рис. 1.12, а). Важно, чтобы на плане сил направления усилий соответствовали плану перемещений. Для того, чтобы выяснить как направлены продольные силы в стержнях, нарисуем приближенный план перемещений (рис. 1.12, б), пользуясь принципами, описанными при решении задачи № 3. Точки В и С жесткого диска поворачиваются с радиусами AB и АС вокруг неподвижной точки А на один и тот же угол g и перемещаются по дугам, которые заменяем перпендикулярами и Для того, чтобы найти абсолютные деформации стержней, надо из точек и (новые положения узлов В и С) опустить перпендикуляры на направления стержней. Как видно из рис. 1.12, б стержень 1 укорачивается на (выделенный жирным отрезок), и поэтому на плане сил усилие N1 показано сжимающим. Стержень 2 согласно плану перемещений удлиняется на, и на рис. 1.12, а продольная сила N2 нарисована растягивающей.

Рис. 1.12. К решению задачи № 5: а – план сил от действия F; б – план перемещений от действия F

Теперь составим три уравнения равновесия:

; ;

; ;

; .

Запишем вторую группу уравнений – уравнения совместности деформаций. Поскольку данная система является один раз статически неопределимой, необходимо составить одно уравнение совместности деформаций. Это геометрическое уравнение, связывающее абсолютные деформации стержней, и его мы получим на основании плана перемещений. Из подобия треугольников ABB¢ и ACC¢ на рис. 1.12, б. Связывая отрезки BB¢ и CC¢ с деформациями стержней и и учитывая, что AB = a, а , получим уравнение совместности деформаций