Тренировочные материалы по математике (стр. 4 )

При каждом значении уравнение задаёт прямую, параллельную прямой или совпадающую с ней. При такая прямая пересекает прямую при , пересекает прямую при , пересекает прямую при любом значении . При этом прямые проходят через точки пересечения прямых , и при ,
и .

Число решений исходной системы равно числу точек пересечения прямых , , с прямой при условии . Таким образом, исходная система имеет ровно два решения при ; ; .

Ответ: ; ; .

Содержание критерия	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только включением/исключением точек и/или	3
С помощью верного рассуждения получен один из промежутков множества значений a: или , возможно, с включением/исключением граничных точек	2
Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения прямых (аналитически или графически) ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

32

Найдите все значения , при каждом из которых система уравнений

имеет более двух решений.

Решение.

Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы.

Рассмотрим два случая:

1) Если , то получаем уравнение

;

;

.

Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке
и радиусом 1.

2) Если , то получаем уравнение

; ; .

Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке
и радиусом .

Полученные окружности пересекаются в двух точках и , лежащих на окружности , поэтому в первом случае получаем дугу с концами в точках и , во втором — дугу с концами в тех же точках (см. рис.).

Рассмотрим второе уравнение системы. Оно задаёт прямую , которая проходит через точку и угловой коэффициент которой равен .

При прямая проходит через точки и , то есть исходная система имеет два решения.

При прямая перпендикулярна прямой , угловой коэффициент которой равен , значит, прямая касается дуги в точке и пересекает дугу в двух точках (одна из которых — точка ), то есть исходная система имеет два решения.

При прямая пересекает каждую из дуг и в точке и ещё
в одной точке, отличной от точки , то есть исходная система имеет три решения.

При прямая не пересекает дуги и в точках, отличных
от точки , то есть исходная система имеет одно решение.