Тренировочные материалы по математике (стр. 7 )

а) Докажите, что плоскость делит медиану основания в отношении , считая от точки .

б) Найдите расстояние от вершины до плоскости .

13

Дана равнобедренная трапеция с основаниями и . Окружность с центром , построенная на боковой стороне как на диаметре, касается боковой стороны и второй раз пересекает большее основание в точке , точка — середина .

а) Докажите, что четырёхугольник — параллелограмм.

б) Найдите , если и .

14

Точка лежит на стороне выпуклого четырёхугольника , причём и — вершины равнобедренных треугольников с основаниями и соответственно, а прямые и перпендикулярны.

а) Докажите, что биссектрисы углов при вершинах и четырёхугольника пересекаются на стороне .

б) Пусть — точка пересечения этих биссектрис. Найдите площадь четырёхугольника , если известно, что , а площадь четырёхугольника, стороны которого лежат на прямых , , и , равна 18.

Ответы к заданиям с кратким ответом

Геометрия

№ задания	Ответ
1	12
2	5
3	0,8
4	3
5	0,28
6	24
7	96
8	40
9	262
10	125

Решения и критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом

11

В кубе все рёбра равны 4. На его ребре отмечена
точка так, что . Через точки и проведена плоскость , параллельная прямой .

а) Докажите, что , где — точка пересечения плоскости
с ребром .

б) Найдите угол наклона плоскости к плоскости грани .

Решение.

а) Проведём через точку прямую, параллельную . Пусть эта прямая пересекает плоскость грани в точке . Прямая лежит
в плоскости , значит, точка лежит на диагонали . Более того, .

Прямая пересекает ребро
в точке , принадлежащей плоскости . Треугольники и подобны, поэтому . Значит, .

б) Опустим из точки перпендикуляр на . По теореме о трёх перпендикулярах прямые и перпендикулярны. Значит, угол искомый. Поскольку , получаем . В прямоугольном треугольнике :

.

Значит, .

Ответ: б) .

12

В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 60, а боковое ребро равно 37. Точки и — середины рёбер и соответственно. Плоскость содержит прямую и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.