Тренировочные материалы по математике (стр. 8 )

а) Докажите, что плоскость делит медиану основания в отношении , считая от точки .

б) Найдите расстояние от вершины до плоскости .

Решение.

а) Прямая параллельна плоскости , поэтому сечение пересекает плоскость
по прямой , параллельной . Рассмотрим плоскость . Пусть — точка пересечения этой плоскости и прямой , — точка пересечения этой плоскости
и прямой , — центр основания пирамиды. Плоскости и перпендикулярны плоскости , поэтому прямая перпендикулярна плоскости , а значит, параллельна прямой . Поскольку — средняя линия треугольника , точка является серединой . Следовательно, — середина . Медиана треугольника делится точкой в отношении . Значит, .

б) Прямая перпендикулярна и , поэтому прямая перпендикулярна плоскости . Прямые и параллельны, значит, расстояние от вершины до плоскости сечения равно расстоянию
от точки до плоскости сечения, то есть .

Ответ: б) .

Критерии оценивания заданий 11 и 12

Содержание критерия	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

13

Дана равнобедренная трапеция с основаниями и . Окружность с центром , построенная на боковой стороне как
на диаметре, касается боковой стороны и второй раз пересекает большее основание в точке , точка — середина .

а) Докажите, что четырёхугольник — параллелограмм.

б) Найдите , если и .

Решение.

а) Треугольник равнобедренный, и трапеция равнобедренная, поэтому

.

Значит, прямые и параллельны, а так как — средняя линия трапеции, то параллельны прямые и . Противоположные стороны четырёхугольника попарно параллельны, следовательно, — параллелограмм.

б) Пусть окружность с центром в точке радиуса касается стороны
в точке . В прямоугольных треугольниках и :

, .

Поэтому

.

Пусть . Поскольку трапеция равнобедренная,

; .