Об истории возникновения предмета «Численные методы» (стр. 11 )

и получают .

2. Вычисляют , начиная с и далее до .

3. Находят .

В результате работы алгоритма получим значения исходной функции в узловых точках , т. е. получим таблицу значений функций, которая является приближенным решением исходной задачи. Используя полученную таблицу, можно построить аналитический вид функции. Как правило, эту функцию строят в виде многочлена.

Для оценки погрешности метода конечных разностей применяют двойной пересчет с шагом и . Приближенная оценка погрешности значения получается по формуле , где - значение точного решения краевой задачи в точке : и - значения в точке , полученные соответственно с шагом и .

8. Численные методы решения краевых задач для
дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка.

Рассмотрим приближенные методы решения задач для дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка с двумя независимыми переменными. В общем случае такое уравнение имеет вид:

(49)

где - независимые переменные, - искомая функция, - первые и вторые частные производные по аргументам и .

Решением уравнения (49) называется функция , обращающаяся это уравнение в тождество. График решения (Рис.13) представляет собой поверхность в пространстве (интегральная поверхность).

8.1. Метод сеток для уравнения параболического типа.

В качестве примера уравнения параболического типа остановимся на уравнении теплопроводности для однородного стержня длиной :

(50)

где - температура и - время. Будем предполагать, что . То есть от уравнения (50) перейдем к уравнению

(51)

Пусть задано распределение температуры в начальный момент времени и законы изменения температуры в зависимости от времени на концах стержня и :; . Требуется найти распределение температуры вдоль стержня длиной в любой момент времени . Функция должна быть непрерывна и дважды непрерывно дифференцируема по своим переменным в области .

Область заменим сеточной (Рис.14), разбивая ее с помощью шага по и с помощью шага по . В результате замены непрерывной области дискретным множеством узловых точек , исходная задача деформируется. Теперь будем искать решение только на дискретном множестве . Т. е. - двумерная таблица значений искомой функции в узловых точках.

Представим уравнение (51) в конечно-разностной форме, заменяя и конечно-разностным аналогом в узловых точках :

Получим конечно-разностный аналог исходной задачи: требуется найти значение функции , удовлетворяющего конечно-разностному уравнению вида:

, (52).

и дополнительным условиям:

Получим систему линейных алгебраических уравнений, которую можно решить любым известным методом. Исследования показали, что значения и должны быть связаны между собой следующим образом: , где . Аппроксимируем уравнение (51) конечно-разностным

(53)

Решая систему (53) с учетом дополнительных условий, получим - искомую функцию в точках .

Второй вариант конечно-разностного аналога исходного дифференциального уравнения, т. н. явная схема, получается за счет того, что первые производные в узловых точках представлены в виде:

,

а вторая производная остается прежней. Получим исходное уравнение в конечно-разностной форме:

.

Считая, что , получим или , . По этой формуле для каждого значения для слоя по оси используются три значения на предыдущем слое с номером . Для начала вычислений используем дополнительные условия.